Question

5．在棱长均为a的正三棱锥S一ABC中．
（1）棱锥的高为$\frac{\sqrt{6}}{3}$a；
（2）棱锥的斜高为$\frac{\sqrt{3}}{2}$a；
（3）SA与底面ABC的夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（4）二面角S-BC-A的余弦值为$\frac{1}{3}$；
（5）取BC中点M，连SM，则AC与SM所成的角的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 （1）根据正三棱锥的边长关系求三棱锥高的值，
（2）在△SBC中，根据勾股定理进行求解．
（3）根据线面角的定义得∠SAD是SA与底面ABC的夹角，进行求解，
（4）根据二面角的定义得∠SMA二面角S-BC-A的平面角，进行求解，
（5）根据异面直线所成角的定义进行平移求解即可．

解答 解：过S作SD⊥平面ABC于D，则D是△ABC的中心，
连接AD，延长交BC于M则M是BC的中点，连接SM，则SM是棱锥的一个斜高．
∵棱长均为a的正三棱锥S一ABC，
∴BM=$\frac{a}{2}$，AM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，AD=$\frac{2}{3}AM$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，DM=$\frac{1}{3}AM$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a，
（1）棱锥的高为SD=$\sqrt{S{A}^{2}-S{D}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a；
（2）棱锥的斜高为SM=$\sqrt{S{B}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{1}{2}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a；
（3）∠SAD是SA与底面ABC的夹角，则cos∠SAD=$\frac{AD}{SA}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}a}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（4）∠SMA二面角S-BC-A的平面角，则cos∠SMA=$\frac{DM}{SM}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{6}a}{\frac{\sqrt{3}}{2}a}$=$\frac{1}{3}$；
（5）取BC中点M，连SM，取AB中点E，连EM，SE，
则EM=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{1}{2}$a，SE=SM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，且EM∥AC，
即EM与SM所成的角即是AC与SM所成的角，
则cos∠SME=$\frac{S{M}^{2}+E{M}^{2}-S{E}^{2}}{2SM•EM}$=$\frac{（\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}+（\frac{1}{2}a）^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}}{2×\frac{\sqrt{3}a}{2}•\frac{1}{2}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
即则AC与SM所成的角的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{6}$

点评 本题主要考查正三棱锥的有关性质，根据棱锥的高，斜高，线面角，二面角以及异面直线所成角的定义分别作出对应的平面角，结合三角形的边角关系是解决本题的关键．