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    已知三个点．

    （Ⅰ）求证：；

    （Ⅱ）要使四边形为矩形，求点的坐标，并求矩形两对角线所夹锐角的余弦值．


    解(Ⅰ)证明：A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．

    ∴＝(1,1)，＝(－3,3)．

    又∵＝1×(－3)＋1×3＝0，

    ∴.                            

    (Ⅱ)∵，若四边形ABCD为矩形，则.

    设C点的坐标为(x，y)，则有(1,1)＝(x＋1，y－4)，

    ∴∴

    ∴点C的坐标为(0,5)．                         

    由于＝(－2,4)，＝(－4,2)，

    ∴＝(－2)×(－4)＋4×2＝16，＝2.  

    设对角线AC与BD的夹角为θ，则cosθ＝＝>0.

    故矩形ABCD两条对角线所夹锐角的余弦值为.          


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