Question

设复数z=cosθ+isinθ（0≤θ≤180°），复数z，（1+i）z，2

.

z

在复平面上对应的三个点分别是P，Q，R．当P，Q，R不共线时，以线段PQ，PR为两边的平行四边形的第四个顶点为S，点S到原点距离的最大值是

3

．

Answer 1

分析：由向量知识求得

OS

=（2cosθ-sinθ）+i（cosθ-2sinθ），故|

OS

|²=5-4sin2θ≤9．由此能求出点S到原点距离的最大值．

解答：解：

OS

=

OP

+

PQ

+

PR

=

OP

+

OQ

-

OP

+

OR

-

OP

=

OQ

+

OR

-

OP

=（1+i）z+2

.

z

-z=iz+2

.

z

=（2cosθ-sinθ）+i（cosθ-2sinθ）．
∴|

OS

|²=5-4sin2θ≤9．
即|

OS

|≤3，当sin2θ=1，
即θ=

π

4

时，|

OS

|=3．
故答案为：3．

点评：本题考查向量的代数表示法及其几何意义的合理运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．