Question

10．设f（x）=|x|+2|x-a|（a＞0）
（1）当a=1时，解不等式f（x）≤4
（2）若f（x）最小值是4，求实数a的取值．

Answer 1

分析 （1）将a=1代入，利用零点分段法，可将函数的解析式化成分段函数的形式，进而分类讨论各段上f（x）≤4的解，最后综合讨论结果，可得不等式f（x）≤4的解集．
（2）利用零点分段法，可将函数的解析式化成分段函数的形式，结合一次函数的单调性可分析出函数的f（x）的单调性，进而求出函数f（x）的最小值，得到实数a的取值．

解答 解：（1）当a=1时，不等式f（x）≤4可化为：|x|+2|x-1|≤4，
当x＜0时，原不等式可化为：2-3x≤4，解得：x≥$-\frac{2}{3}$，
∴$-\frac{2}{3}$≤x＜0，
当0≤x≤1时，原不等式可化为：2-x≤4，解得：x≥-2，
∴0≤x≤1，
当x＞1时，原不等式可化为：3x-2≤4，解得：x≤2，
∴0＜x≤2，
综上所述不等式f（x）≤8的解集为[$-\frac{2}{3}$，2]
（2）∵f（x）=|x|+2|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}2a-3x，x＜0\\ 2a-x，0≤x≤a\\ 3x-2a，x＞a\end{array}\right.$
则f（x）在（-∞，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，
∴当x=a时，f（x）取最小值a，
∴a=4

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，绝对值不等式，其中利用零点分段法，将函数的解析式化成分段函数的形式，进而分类讨论是解答此类问题的通法．