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在空间直角坐标系中,解答下列各题:
(1)在x轴上求一点P,使它与点P0(4,1,2)的距离为
30

(2)在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M,使它到点N(6,5,1)的距离最小.
分析:(1)设出x轴上的点的坐标,根据它与已知点之间的距离,写出两点之间的距离公式,得到关于未知数的方程,解方程即可,注意不要漏掉解,两个结果都合题意.
(2)先设点M(x,1-x,0),然后利用空间两点的距离公式表示出距离,最后根据二次函数研究最值即可.
解答:解:(1)设点P的坐标是(x,0,0),
由题意|P0P|=
30

(x-4)2+12+22
=
30

∴(x-4)2=25.解得x=9或x=-1.
∴点P坐标为(9,0,0)或(-1,0,0).先设点M(x,1-x,0),然后利用空间两点的距离公式表示出距离,最后根据二次函数研究最值即可.
(2)设点M(x,1-x,0)
则|MN|=
(x-6)2+(1-x-5)2+(1-0)2
=
2(x-1)2+51

∴当x=1时,|MN|min=
51

∴点M的坐标为(1,0,0)时到点N(6,5,1)的距离最小.
点评:本题考查空间两点之间的距离公式,在两点的坐标,和两点之间的距离,这三个量中,可以互相求解.(1)中涉及二次函数研究最值问题,同时考查了计算能力,属于基础题.
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