【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为梯形,AD∥BC,BC=6,PA=AD=CD=2,E为BC上一点且BE= BC,PB⊥AE.
(1)求证:AB⊥PE;
(2)求二面角B﹣PC﹣D的余弦值.
【答案】
(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,AE平面ABCD,
∴PA⊥AE,
又∵PB⊥AE,PB∩PA=P,
∴AE⊥平面PAB,又∵AB平面PAB,
∴AE⊥AB.
又∵PA⊥AB,PA∩AE=A,
∴AB⊥平面PAE,
又∵PE平面PAE,
∴AB⊥PE.
(2)解:以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz,
则B(2 ,0,0),P(0,0,2),C(﹣
,3,0),D(﹣
,1,0),
∴ =(﹣3
,3,0),
=(﹣
,3,﹣2),
=(0,2,0).
设平面PBC的一个法向量 =(x,y,z),
则 ,令x=1,得
=(1,
,
).
同理可求平面PCD的一个法向量 =(2,0,﹣
).
∴cos >=
=
=﹣
.
∵二面角B﹣PC﹣D为钝二面角,
∴二面角B﹣PC﹣D的余弦值为﹣ .
【解析】(1)推导出PA⊥AE,AE⊥AB.由此能证明AB⊥PE.(2)以A为坐标原点,建立空间直角坐标系A﹣xyz,利用向量法能求出二面角B﹣PC﹣D的余弦值.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用棱锥的结构特征的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.
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【题目】2019年,河北等8省公布了高考改革综合方案将采取“3+1+2”模式,即语文、数学、英语必考,然后考生先在物理、历史中选择1门,再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门.为了更好进行生涯规划,甲同学对高一一年来的七次考试成绩进行统计分析,其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示.
(1)若甲同学随机选择3门功课,求他选到物理、地理两门功课的概率;
(2)试根据茎叶图分析甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科?并说明理由;
(3)甲同学发现,其物理考试成绩(分)与班级平均分
(分)具有线性相关关系,统计数据如下表所示,试求当班级平均分为50分时,其物理考试成绩.
参考数据: ,
,
,
.
参考公式:,
,
(计算
时精确到
).
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【题目】已知椭圆C的右焦点F(1,0),过F的直线l与椭圆C交于A,B两点,当l垂直于x轴时,|AB|=3.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)在x轴上是否存在点T,使得 为定值?若存在,求出点T坐标,若不存在,说明理由.
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【题目】如图,边长为2的正方形所在的平面与半圆弧
所在平面垂直,
是
上异于
,
的点.
(1)证明:平面平面
;
(2)当三棱锥体积最大时,求面
与面
所成二面角的正弦值.
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【题目】已知函数f(x)=emx﹣lnx﹣2.
(1)若m=1,证明:存在唯一实数t∈( ,1),使得f′(t)=0;
(2)求证:存在0<m<1,使得f(x)>0.
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【题目】对于定义域为的函数
,若满足①
;② 当
,且
时,都有
;③ 当
,且
时,都有
,则称
为“偏对称函数”.现给出四个函数:①
;②
; ③
;④
.则其中是“偏对称函数”的函数序号为 _______.
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【题目】为比较甲、乙两地某月11时的气温情况,随机选取该月中的5天中11时的气温数据(单位:℃)制成如图所示的茎叶图,考虑以下结论:
①甲地该月11时的平均气温低于乙地该月11时的平均气温
②甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温
③甲地该月11时的气温的标准差小于乙地该月11时的气温的标准差
④甲地该月11时的气温的标准差大于乙地该月11时的气温的标准差
其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为( )
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
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