Question

已知函数，其中a＞0，a，b∈R．
（1）当a，b满足什么条件时，f（x）取得极值？
（2）若f（x）在区间[1，2]上单调递增，试用a表示b的取值范围．

Answer 1

解：（1）由已知得f′（x）=ax²+bx+1，
令f′（x）=0，得ax²+bx+1=0，
f（x）要取得极值，方程ax²+bx+1=0，必须有解，
所以△=b²-4a＞0，即b²＞4a，
此时方程ax²+bx+1=0的根为：
x₁=，x₂=，
所以f′（x）=a（x-x₁）（x-x₂）
当a＞0时，

所以f（x）在x₁，x₂处分别取得极大值和极小值．
（2）要使f（x）在区间[1，2]上单调递增，需使f′（x）=ax²+bx+1≥0在[1，2]上恒成立．
即b≥，x∈[1，2]恒成立，
所以b≥-（） max
设g（x）=，g′（x）=-a+=，
①当∈[1，2]时，即≤a≤1，g（x）=≤-2=-2，等号成立的条件是，
g（x）在[1，2]上的最大值g（）=-2，因此b≥-2，
②当＜1时，即a＞1时，g′（x）=-a+=，且g′（x）＜0，
因此g（x）在[1，2]上单调减，它的最大值g（1）=-a-1，因此b≥-a-1，
③当＞2时，即a＜时，g′（x）=-a+=，且g′（x）＞0，
因此g（x）在[1，2]上单调增，它的最大值g（2）=-2a-，因此b≥-2a-，
综上，当≤a≤1时，b≥-2，当＜1时，b≥-a-1，当＞2时，b≥-2a-．
分析：（1）对函数求导，由题意可得f′（x）=0有解，a＞0，根据二次方程的性质可求解；
（2）f（x）在区间[1，2]上单调递增，可得f′（x）≥0在[1，2]上恒成立，从而转化为求函数的最值，可求解．
点评：本题考查了函数极值取得的条件，函数的单调区间问题：由f′（x）＞0，解得函数的单调增区间；反之函数在[a，b]上单调递增，则f′（x）≥0恒成立，进而转化为求函数在区间[a，b]上的最值问题，体现了分类讨论及转化思想在解题中的应用．