【题目】如图,在四棱锥中,底面
为矩形,
是等边三角形,
是直角三角形,
为
中点.
(1)求证:;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析 (2)
【解析】
(1)取的中点
,根据等边三角形性质得
,根据矩形性质得
,最好根据线面垂直判定定理与性质定理得结果;
(2)法一:建立空间直角坐标系,利用向量数量积求各面方向量 ,再根据二面角与法向量夹角关系求结果;法二:取的中点
,证明
为二面角
的平面角,再根据解三角形得结果.
(1)取的中点
,连接
,
在等边三角形中,
;
在矩形中,
,则
.
∵,∴
平面
.
∵平面
,∴
.
(2)法一:设,则
,
∵且点
为
的中点,(三线合一)
∴为等腰直角三角形且
.
∵,∴
.
∴两两垂直
以为原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴,
建立空间直角坐标系,
则,
.
设平面的一个法向量为的
,由
得
令得
.
(注:也可证明为平面
的一个法向量)
设平面的一个法向量为
,由
得
令得
.
.
由图知,二面角为钝角,则二面角
的余弦值为
.
(2)法二:
设,则
,
∵且点
为
的中点,(三线合一)
∴为等腰直角三角形,∴
,
∴为等腰三角形,
取的中点
,连接
,∵
,∴
.
在等边三角形中,连接
,则
,
.
则为二面角
的平面角.
连接,在
中,由余弦定理,
.
则二面角的余弦值为
.
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【题目】如图,某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型,先用木料搭边框,再用其他材料填充,已知金字塔的每一条棱和边都相等.
(1)求证:直线AC垂直于直线SD;
(2)若搭边框共使用木料24米,则需要多少立方米的填充材料才能将整个金字塔内部填满?
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【题目】已知动点到点
的距离与它到直线
的距离
的比值为
,设动点
形成的轨迹为曲线
..
(1)求曲线的方程;
(2)过点的直线与曲线
交于
两点,过
点作
,垂足为
,过
点作
,垂足为
,求
的取值范围.
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【题目】若数列中存在三项,按一定次序排列构成等比数列,则称
为“等比源数列”。
(1)在无穷数列中,
,
,求数列
的通项公式;
(2)在(1)的结论下,试判断数列是否为“等比源数列”,并证明你的结论;
(3)已知无穷数列为等差数列,且
,
(
),求证:数列
为“等比源数列”.
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【题目】设数列 的前
项和为
,对一切
,点
都在函数
的图象上.
(1)求,归纳数列
的通项公式(不必证明);
(2)将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为
,
,
,
;
,
,
,
;
,…,分别计算各个括号内各数之和,设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为
,求
的值;
(3)设为数列
的前
项积,若不等式
对一切
都成立,其中
,求
的取值范围.
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【题目】已知椭圆:
的中心为
,一个方向向量为
的直线
与
只有一个公共点
(1)若且点
在第二象限,求点
的坐标;
(2)若经过的直线
与
垂直,求证:点
到直线
的距离
;
(3)若点、
在椭圆上,记直线
的斜率为
,且
为直线
的一个法向量,且
求
的值.
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【题目】某企业在“精准扶贫”行动中,决定帮助一贫困山区将水果运出销售.现有8辆甲型车和4辆乙型车,甲型车每次最多能运6吨且每天能运4次,乙型车每次最多能运10吨且每天能运3次,甲型车每天费用320元,乙型车每天费用504元.若需要一天内把180吨水果运输到火车站,则通过合理调配车辆运送这批水果的费用最少为______元.
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【题目】自然状态下的鱼类是一种可再生资源,为了持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响.用表示某鱼群在第
年年初的总量且
.不考虑其他因素,设在第
年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与
成正比,死亡量与
成正比,这些比例系数依次为正常数
,
,
(1)求与
的关系式
(2)若每年年初鱼群的总量保持不变,求,
,
,
所应满足的条件
(3)设,
,为保证对任意
,都有
,则捕捞强度
的最大允许值是多少?并说明理由.
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