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    【题目】已知双曲线的两个焦点为、，P为该双曲线上一点，满足，P到坐标原点O的距离为d，且，则________.

    【答案】4或9

    【解析】

    求得双曲线的b，c，设P为右支上一点，|PF1|＝m，|PF2|＝n，运用双曲线的定义，结合条件，由两点的距离公式，解不等式可得a的正整数解．

    双曲线1的b＝2，c2＝a2+4，

    设P为右支上一点，|PF1|＝m，|PF2|＝n，

    由双曲线的定义可得m﹣n＝2a，

    由题意可得4c2＝mn，

    又由三角形中线与边的关系可得:2 m2+2n2＝(2c)2+(2d)2，

    即m2+n2＝2c2+2d2，

    可得（m﹣n）2+2mn＝4a2+8c2＝2c2+2d2

    又d2∈（25，81），

    即25＜5a2+12＜81，

    由a为正整数，可得a2＝4或9，

    故答案为：4或9．

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    （2）若，求的最大值；

    （3）当时是否存在正整数，满足？若存在，求出值；若不存在，请说明理由.

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    【题目】已知,数列、满足:,,记．

    （1）若，，求数列、的通项公式；

    （2）证明：数列是等差数列；

    （3）定义，证明：若存在，使得、为整数，且有两个整数零点，则必有无穷多个有两个整数零点．

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