【题目】已知抛物线(
),过点
(
)的直线
与
交于
、
两点.
(1)若,求证:
是定值(
是坐标原点);
(2)若(
是确定的常数),求证:直线
过定点,并求出此定点坐标;
(3)若的斜率为1,且
,求
的取值范围.
【答案】(1)定值为,证明见解析;(2)证明见解析;定点
;(3)
.
【解析】
(1)a时,设过点M的直线l为x=ty
,与抛物线方程联立消去x,得关于y的一元二次方程,由根与系数的关系和数量积的坐标运算即可求出
为定值;
(2)设出直线AB的方程为x=ty+n,与抛物线方程联立消去x,得关于y的一元二次方程,由根与系数的关系得出y1y2的值,再由题意列出方程求出n的值,即可得出直线AB过定点;
(3)由题意写出直线AB的方程为y=x﹣a,与抛物线方程联立消去y,得关于x的一元二次方程,由根与系数的关系以及判别式△>0,即可求出a的取值范围.
解:(1)当a时,点M(
,0),
设直线l:x=ty,
由,消去x,得
y2﹣2pty﹣p2=0,
所以y1y2=﹣p2,
则x1x2;
x1x2+y1y2
p2
为定值;
(2)设直线AB:x=ty+n,
由,消去x,得
y2﹣2pty﹣2pn=0,
所以y1y2=﹣2pn,
又y1y2=m,则﹣2pn=m,即n;
则直线AB过定点(,0);
(3)由题意:直线AB的方程为:y=x﹣a,
代入抛物线得:x2﹣2(a+p)x+a2=0,
由△=4(a+p)2﹣4a2>0得:a;
x1+x2=2(a+p),x1x2=a2,
所以|AB||x1﹣x2|=2
2p,
解得a;
所以a的取值范围是(,
].
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【题目】设函数在
上有定义,实数
和
满足
,若
在区间
上不存在最小值,则称
在
上具有性质
.
(1)当,且
在区间
上具有性质
时,求常数
的取值范围;
(2)已知(
),且当
时,
,判别
在区间
上是否具有性质
,试说明理由.
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【题目】已知椭圆的左、右顶点分别为
,
,左、右焦点分别为
,
,离心率为
,点
,
为线段
的中点.
()求椭圆
的方程.
()若过点
且斜率不为
的直线
与椭圆
交于
、
两点,已知直线
与
相交于点
,试判断点
是否在定直线上?若是,请求出定直线的方程;若不是,请说明理由.
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【题目】在本题中,我们把具体如下性质的函数叫做区间
上的闭函数:①
的定义域和值域都是
;②
在
上是增函数或者减函数.
(1)若在区间
上是闭函数,求常数
的值;
(2)找出所有形如的函数(
都是常数),使其在区间
上是闭函数.
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【题目】如图为正方体ABCD-A1B1C1D1,动点M从B1点出发,在正方体表面沿逆时针方向运动一周后,再回到B1的运动过程中,点M与平面A1DC1的距离保持不变,运动的路程x与l=MA1+MC1+MD之间满足函数关系l=f(x),则此函数图象大致是( )
A. B.
C. D.
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【题目】贺先生想向银行贷款买辆新能源车,银行可以贷给贺先生N元,一年后需要一次性还1.02N元.
(1)贺先生发现一个投资理财方案:每个月月初投资元,共投资一年,每月的月收益率达到1%,于是贺先生决定贷款12
元,按投资方案投资,求
的值,使得贺先生用最终投所得的钱还清贷款后,还有120000的余额去旅游(精确到0.01元);
(2)贺先生又发现一个投资方案:第个月月初投资
元
共投资一年,每月的月收益率达到1%,则贺先生应贷款多少,使得用最终投资所得的钱还清后,还有120000的余额去旅游(精确到0.01元).
(参考数据,
,
)
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