Question

【题目】在本题中，我们把具体如下性质的函数叫做区间上的闭函数：①的定义域和值域都是；②在上是增函数或者减函数.

（1）若在区间上是闭函数，求常数的值；

（2）找出所有形如的函数（都是常数），使其在区间上是闭函数.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）依据新定义，的定义域和值域都是，且在上单调，建立方程求解；（2）依据新定义，讨论的单调性，列出方程求解即可。

（1）当时，由复合函数单调性知，在区间上是增函数，即有 ，解得 ；

同理，当时，有，解得，综上，。

（2）若在上是闭函数，则在上是单调函数，

①当在上是单调增函数，则 ，解得，检验符合；

②当在上是单调减函数，则，解得，

在上不是单调函数，不符合题意。

故满足在区间上是闭函数只有。