Question

【题目】若有穷数列（）满足：①；②.则称该数列为“阶非凡数列”

（1）分别写出一个单调递增的“阶非凡数列”和一个单调递减的“阶非凡数列”；

（2）设，若“阶非凡数列”是等差数列，求其通项公式；

（3）记“阶非凡数列”的前项的和为，求证：

Answer 1

【答案】（1）三阶；四阶；

（2），；（3）证明见解析；

【解析】

（1）令即可得到“阶非凡数列”；令，即可得到“阶非凡数列”；

（2）由等差数列是“阶非凡数列” 得，则数列各项以为分界线，接下来对公差分两种情况讨论，即和，将均用表示，从而分别求得通项公式；

（3）对分两种情况讨论，即和，当时结论显然成立，当时，要结合绝对值不等式进行证明.

（1）“阶非凡数列”为：；“阶非凡数列”为：.

（2）设等差数列的公差为，

，

，即，

当时，为递增数列，

且，

，

①；②，

，

，

.

，

当时，为递减数列，同理可得：

，，

，

即，

.

（3）当时，；

当时，，

，

，

，

，

综上所述：成立.