Question

【题目】对于曲线所在的平面上的定点，若存在以点为顶点的角，使得对于曲线上的任意两个不同的点恒成立，则称角为曲线的“点视角”，并称其中最小的“点视角”为曲线相对于点的”点确视角”.已知曲线和圆是轴上一点

（1）对于坐标原点，写出曲线的“点确视角”的大小；

（2）若在曲线上，求的最小值；

（3）若曲线和圆的“点确视角”相等，求点坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根据“点确视角”的定义,可知“点确视角”即为原点与两条渐近线所成角的大小,结合渐近线方程即可求得该角大小.

（2）设出Q点坐标,代入双曲线方程可得Q的横纵坐标的等量关系.根据两点间距离公式即可表示出,根据Q横坐标的取值范围讨论P点的位置,即可求得的最小值.

（3）根据双曲线与圆的“点确视角”相等,可得与双曲线相切的直线方程,联立后通过判别式即可求得点坐标.

（1）由题意可知, “点确视角”即为原点与两条渐近线所成角的大小,

因为曲线,两条渐近线方程为

两条渐近线的倾斜角分别为与

所以两条渐近线的夹角为

即“点确视角”为

（2）设,代入曲线方程可得

,化简即为

因为

则

因为在双曲线右支上,所以

所以当时, 则

所以当时, 则

综上可知,

（3）曲线和圆

根据题意将两个曲线画在坐标系中,如下图所示:

因为曲线和圆的“点确视角”相等

由图像可知它们共同的“点确视角”为钝角

双曲线的两条渐近线方程为

所以当时,过P点与双曲线相切时, “点确视角”相等

则切线方程可表示为

联立双曲线,化简得

根据相切时可得

解得或

因为

故