Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点为、.

（1）求以为焦点，原点为顶点的抛物线方程；

（2）若椭圆上点满足，求的纵坐标；

（3）设，若椭圆上存在两个不同点、满足，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）直线过定点.

【解析】

(1)由椭圆方程可求出左焦点的坐标,由此可求出抛物线的方程;

(2)根据椭圆定义以及余弦定理可求出,再根据面积关系列式可求得结果;

(3)联立直线,与抛物线方程,消去得到关于的一元二次方程,根据韦达定理得到两根之和与两根之积,再根据向量相乘为0列式可解得,从而可得.

(1)在椭圆中,,,所以,

所以,所以,

所以在抛物线中,所以,

所以以为焦点，原点为顶点的抛物线方程为:,即.

(2)设,,,

在三角形中,,

由余弦定理得:,

所以得,

得,又,

所以,

所以,

即,

解得:,所以;

(3)直线的斜率显然存在,设直线的方程为:,

联立 ,消去并整理得:,

设,,

则,即,

,,

因为,

所以,

所以,

所以,

所以,

化简得:,

因为,所以,

所以直线 :过定点.