【题目】如图(1)所示,五边形中,
,
,
分别是线段
的中点,且
,现沿
翻折,使得
,得到的图形如图(2)所示.
图(1) 图(2)
(1)证明:平面
;
(2)若平面与平面
所成角的平面角的余弦值为
,求
的值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
试题(1)根据二面角定义得是二面角
的平面角,即得平面
平面
.由等腰三角形性质得
,根据面面垂直性质定理得
平面
,即得
.根据勾股定理得
,最后根据线面垂直判定定理得结论,(2)先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,根据方程组解得平面
一个法向量,根据向量数量积求夹角,最后根据线面角与向量夹角互余关系列方程,解得
的值.
试题解析:(1)如图,连接.因为
,且
是二面角
的平面角,故平面
平面
.
因为,
为线段
的中点,故
,
因为平面平面
,
平面
,故
平面
,
因为平面
,故
.
,故,
即,因为
,所以
平面
.
(2)因为,所以
,由(I)知,
平面
,所以
两两垂直,
如图,建立空间直角坐标系,设
,则
,
,
,
则,
.设平面
的法向量为
,
由得
令
可得
,故
;
又为平面
的一个法向量,平面
与平面
所成角的平面角的余弦值为
,
所以,解得
(负值舍去),故
.
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【题目】如图,三棱锥中,
底面
为等边三角形,
分别是
的中点.
(1)证明:平面平面
;
(2)如何在上找一点
,使
平面
并说明理由;
(3)若,对于(2)中的点
,求三棱锥
的体积.
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【题目】国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验》国家标准.新标准规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于毫克/百毫升,小于
毫克/百毫升为饮酒驾车,血液中的酒精含量大于或等于
毫克/百毫升为醉酒驾车.经过反复试验,喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下图,该函数近似模型如下:
.
又已知刚好过1小时时测得酒精含量值为毫克/百毫升.根据上述条件,解答以下问题:
(1)试计算喝1瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值?最大值是多少?
(2)试计算喝1瓶啤酒后多少小时后才可以驾车?(时间以整分钟计算)
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【题目】给定数列,记该数列前
项
中的最大项为
,即
,该数列后
项
中的最小项为
,记
,
;
(1)对于数列:3,4,7,1,求出相应的,
,
;
(2)若是数列
的前
项和,且对任意
,有
,其中
为实数,
且
,
.
(ⅰ)设,证明:数列
是等比数列;
(ⅱ)若数列对应的
满足
对任意的正整数
恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】已知,
为两非零有理数列(即对任意的
,
均为有理数),
为一无理数列(即对任意的
,
为无理数).
(1)已知,并且
对任意的
恒成立,试求
的通项公式.
(2)若为有理数列,试证明:对任意的
,
恒成立的充要条件为
.
(3)已知,
,对任意的
,
恒成立,试计算
.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点为
、
.
(1)求以为焦点,原点为顶点的抛物线方程;
(2)若椭圆上点
满足
,求
的纵坐标
;
(3)设,若椭圆
上存在两个不同点
、
满足
,证明:直线
过定点,并求该定点的坐标.
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【题目】如图是函数一个周期内的图象,将
图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再把所得图象向右平移
个单位长度,得到函数
的图象.
(1)求函数和
的解析式;
(2)若,求
的所有可能的值;
(3)求函数(
为正常数)在区间
内的所有零点之和.
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【题目】某企业为提高生产质量,引入了一批新的生产设备,为了解生产情况,随机抽取了新、旧设备生产的共200件产品进行质量检测,统计得到产品的质量指标值如下表及图(所有产品质量指标值均位于区间内),若质量指标值大于30,则说明该产品质量高,否则说明该产品质量一般.
质量指标 | 频数 |
2 | |
8 | |
10 | |
30 | |
20 | |
10 | |
合计 | 80 |
(1)根据上述图表完成下列列联表,并判断是否有
的把握认为产品质量高与引人新设备有关;
新旧设备产品质量列联表
产品质量高 | 产品质量一般 | 合计 | |
新设备产品 | |||
旧设备产品 | |||
合计 |
(2)从旧设备生产的质量指标值位于区间的产品中,按分层抽样抽取6件产品,再从这6件产品中随机选取2件产品进行质量检测,求至少有一件产品质量指标值位于
的概率.
附:,
.
0.10 | 0.05 | 0.01 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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