Question

【题目】已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，离心率为，点，为线段的中点．

（）求椭圆的方程．

（）若过点且斜率不为的直线与椭圆交于、两点，已知直线与相交于点，试判断点是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)；(2)点在定直线上.

【解析】

试题分析: （Ⅰ）求椭圆标准方程，一般方法为待定系数法，即根据条件建立关于的两个独立条件，再与联立方程组，解出的值，（Ⅱ）先根据特殊直线或椭圆几何性质确定定直线，再根据条件证明点横坐标为1.由题意设两点坐标，用两点坐标表示点横坐标.根据直线方程与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理得两点坐标关系（用直线斜率表示），并代入点横坐标表达式，化简可得为定值.

试题解析: （Ⅰ）设点，由题意可知：，即 ①

又因为椭圆的离心率，即 ②

联立方程①②可得：，则

所以椭圆的方程为．

（Ⅱ）方法一：根据椭圆的对称性猜测点是与轴平行的直线上．

假设当点为椭圆的上顶点时，直线的方程为，此时点 ，

则联立直线和直线可得点

据此猜想点在直线上，下面对猜想给予证明：

设，联立方程可得：

由韦达定理可得， （*）

因为直线，，

联立两直线方程得（其中为点的横坐标）即证：，

即，即证

将（*）代入上式可得

此式明显成立，原命题得证．所以点在定直线上上．

方法二：设，两两不等，

因为三点共线，所以，

整理得：

又三点共线，有： ①

又三点共线，有： ② 将①与②两式相除得：

即，

将即代入得：

解得（舍去）或，所以点在定直线上．

方法三：显然与轴不垂直，设的方程为，.

由得.

设，两两不等，

则，，

由三点共线，有： ①

由三点共线，有： ②

①与②两式相除得：

解得（舍去）或，所以点在定直线上．