【题目】已知椭圆上两个不同的点
、
关于直线
对称.
(1)若已知,
为椭圆上动点,证明:
;
(2)求实数的取值范围;
(3)求面积的最大值(
为坐标原点).
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
.
【解析】
(1)设点,则有
,代入椭圆的方程得出
,然后利用两点间的距离公式和二次函数的基本性质可求出
的最大值
,从而证明
;
(2)由、
关于直线
对称,可得出直线
与直线
,从而可得出直线
的斜率为
,设直线
的方程为
,设点
、
,将直线
的方程与椭圆方程联立,得出
,并列出韦达定理,求出线段
的中点
,再由点
在直线上列出不等式,结合
可求出
的取值范围;
(3)令,可得出直线
的方程为
,利用韦达定理结合弦长公式计算出
,利用点到直线的距离公式计算出
的高
的表达式,然后利用三角形的面积公式得出
面积的表达式,利用基本不等式可求出
面积的最大值.
(1)设,则
,得
,于是
因,所以当
时,
,即
;
(2)由题意知,可设直线
的方程为
.
由消去
,得
.
因为直线与椭圆
有两个不同的交点,
所以,,即
,①
由韦达定理得,
,
,所以,线段
的中点
.
将中点
代入直线方程
,解得
②,
将②代入①得,化简得
.
解得或
,因此,实数
的取值范围是
;
(3)令,即
,且
.
则,
,
则,
且到直线
的距离为
,
设的面积为
,所以
,
当且仅当时,等号成立,故
面积的最大值为
.
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【题目】已知点F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,点P为椭圆上任意一点,P到焦点F2的距离的最大值为
,且△PF1F2的最大面积为1.
(Ⅰ)求椭圆C的方程.
(Ⅱ)点M的坐标为,过点F2且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A,B两点.对于任意的
是否为定值?若是求出这个定值;若不是说明理由.
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【题目】已知抛物线(
),其准线方程
,直线
过点
(
),且与抛物线交于
、
两点,
为坐标原点.
(1)求抛物线方程,并注明:的值与直线
倾斜角的大小无关;
(2)若为抛物线上的动点,记
的最小值为函数
,求
的解析式.
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【题目】设函数在
上有定义,实数
和
满足
,若
在区间
上不存在最小值,则称
在
上具有性质
.
(1)当,且
在区间
上具有性质
时,求常数
的取值范围;
(2)已知(
),且当
时,
,判别
在区间
上是否具有性质
,试说明理由.
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【题目】私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一,因此在生活中我们应该提倡低碳生活,少开私家车,尽量选择绿色出行方式,为预防雾霾出一份力.为此,很多城市实施了机动车车尾号限行,我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度,随机抽查了人,将调查情况进行整理后制成下表:
年龄(岁) | ||||||
频数 | ||||||
赞成人数 |
()完成被调查人员的频率分布直方图.
()若从年龄在
,
的被调查者中各随机选取
人进行追踪调查,求恰有
人不赞成的概率.
()在
在条件下,再记选中的
人中不赞成“车辆限行”的人数为
,求随机变量
的分布列和数学期望.
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【题目】已知椭圆的左、右顶点分别为
,
,左、右焦点分别为
,
,离心率为
,点
,
为线段
的中点.
()求椭圆
的方程.
()若过点
且斜率不为
的直线
与椭圆
交于
、
两点,已知直线
与
相交于点
,试判断点
是否在定直线上?若是,请求出定直线的方程;若不是,请说明理由.
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【题目】设抛物线的方程为
,其中常数
,
是抛物线
的焦点.
(1)若直线被抛物线
所截得的弦长为6,求
的值;
(2)设是点
关于顶点
的对称点,
是抛物线
上的动点,求
的最大值;
(3)设,
、
是两条互相垂直,且均经过点
的直线,
与抛物线
交于点
、
,
与抛物线
交于点
、
,若点
满足
,求点
的轨迹方程.
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