Question

【题目】已知点F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，P到焦点F2的距离的最大值为，且△PF1F2的最大面积为1．

（Ⅰ）求椭圆C的方程．

（Ⅱ）点M的坐标为，过点F2且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A，B两点．对于任意的是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）定值为

【解析】

（Ⅰ）利用P到焦点F2的距离的最大值为，且△PF1F2的最大面积为1，结合a2＝b2+c2，求出a，c，b可得椭圆的方程．

（Ⅱ）利用直线与椭圆方程，通过韦达定理，结合向量的数量积化简得到定值即可．

（I）由题意可知：a+c＝，×2c×b＝1，且a2＝b2+c2，

∴a2＝2，b2＝1，c2＝1，∴所求椭圆的方程为：.

（II）设直线L的方程为：y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），M（，0）

联立直线与椭圆方程，消去y可得（2k2+1）x2﹣4kx+2（k2﹣1）＝0

则

∴对于任意的为定值．