【题目】已知两动圆和
(
),把它们的公共点的轨迹记为曲线
,若曲线
与
轴的正半轴的交点为
,且曲线
上的相异两点
满足:
.
(1)求曲线的轨迹方程;
(2)证明直线恒经过一定点,并求此定点的坐标;
(3)求面积
的最大值.
【答案】(1);(2)见解析;(3)
.
【解析】
(1)设两动圆的公共点为,由椭圆定义得出曲线
是椭圆,并得出
、
、
的值,即可得出曲线
的方程;
(2)求出点,设点
,
,对直线
的斜率是否存在分两种情况讨论,在斜率存在时,设直线
的方程为
,并将该直线方程与椭圆
的方程联立,列出韦达定理,结合条件
并代入韦达定理求出
的值,可得出直线
所过点的坐标,在直线
的斜率不存在时,可得出直线
的方程为
,结合这两种情况得出直线
所过定点坐标;
(3)利用韦达定理求出面积
关于
的表达式,换元
,然后利用基本不等式求出
的最大值.
(1)设两动圆的公共点为,则有:
.
由椭圆的定义可知的轨迹为椭圆,
,
,所以曲线
的方程是:
;
(2)由题意可知:,设
,
,
当的斜率存在时,设直线
,联立方程组:
,把②代入①有:
,
③,
④,
因为,所以有
,
,把③④代入整理:
,(有公因式
)继续化简得:
,
或
(舍),
当的斜率不存在时,易知满足条件
的直线
为:
过定点,综上,直线
恒过定点
;
(3)面积
,
由第(2)小题的③④代入,整理得:,
因在椭圆内部,所以
,可设
,
,
,
(
时取到最大值).
所以面积
的最大值为
.
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【题目】已知点F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,点P为椭圆上任意一点,P到焦点F2的距离的最大值为
,且△PF1F2的最大面积为1.
(Ⅰ)求椭圆C的方程.
(Ⅱ)点M的坐标为,过点F2且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A,B两点.对于任意的
是否为定值?若是求出这个定值;若不是说明理由.
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【题目】已知椭圆的左、右顶点分别为
,
,左、右焦点分别为
,
,离心率为
,点
,
为线段
的中点.
()求椭圆
的方程.
()若过点
且斜率不为
的直线
与椭圆
交于
、
两点,已知直线
与
相交于点
,试判断点
是否在定直线上?若是,请求出定直线的方程;若不是,请说明理由.
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【题目】如图为正方体ABCD-A1B1C1D1,动点M从B1点出发,在正方体表面沿逆时针方向运动一周后,再回到B1的运动过程中,点M与平面A1DC1的距离保持不变,运动的路程x与l=MA1+MC1+MD之间满足函数关系l=f(x),则此函数图象大致是( )
A. B.
C. D.
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【题目】某企业参加项目生产的工人为
人,平均每人每年创造利润
万元.根据现实的需要,从
项目中调出
人参与
项目的售后服务工作,每人每年可以创造利润
万元(
),
项目余下的工人每人每年创造利图需要提高
(1)若要保证项目余下的工人创造的年总利润不低于原来
名工人创造的年总利润,则最多调出多少人参加
项目从事售后服务工作?
(2)在(1)的条件下,当从项目调出的人数不能超过总人数的
时,才能使得
项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润,求实数
的取值范围.
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【题目】设抛物线的方程为
,其中常数
,
是抛物线
的焦点.
(1)若直线被抛物线
所截得的弦长为6,求
的值;
(2)设是点
关于顶点
的对称点,
是抛物线
上的动点,求
的最大值;
(3)设,
、
是两条互相垂直,且均经过点
的直线,
与抛物线
交于点
、
,
与抛物线
交于点
、
,若点
满足
,求点
的轨迹方程.
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【题目】已知数列的前6项依次成等比数列,设公比为q(
),数列从第5项开始各项依次为等差数列,其中
,数列
的前n项和为
.
(1)求公比q及数列的通项公式;
(2)若,求项数n的取值范围.
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