【题目】设抛物线的方程为
,其中常数
,
是抛物线
的焦点.
(1)若直线被抛物线
所截得的弦长为6,求
的值;
(2)设是点
关于顶点
的对称点,
是抛物线
上的动点,求
的最大值;
(3)设,
、
是两条互相垂直,且均经过点
的直线,
与抛物线
交于点
、
,
与抛物线
交于点
、
,若点
满足
,求点
的轨迹方程.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
(1)当时,代入抛物线方程,求得
,可得弦长,解方程可得
;
(2)求得的坐标,设出过
的直线为
,
,联立抛物线方程,若要使
取到最大值,则直线和抛物线相切,运用判别式为0,求得倾斜角,可得所求最大值;
(3)求得,设
,
,
,
,
,
,
,
,
,设
,联立抛物线方程,运用韦达定理和两直线垂直斜率之积为-1的条件,结合向量的坐标表示,和消元法,可求得轨迹方程
(1)由可得
,可得
,解得
;
(2)是点
,
关于顶点
的对称点,可得
,
,
设过的直线为
,
,
联立抛物线方程可得,
由直线和抛物线相切可得△,解得
,
可取,可得切线的倾斜角为
,
由抛物线的定义可得,而
的最小值为
,
的最大值为
;
(3)由,可得
,设
,
,
,
,
,
,
,
,
,
设,联立抛物线
,可得
,
即有,
,
由两直线垂直的条件,可将换为
,可得
,
,
点满足
,
可得,
,
,
即为①,
②,
联立①②式消元可得,
则的轨迹方程为
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【题目】已知两动圆和
(
),把它们的公共点的轨迹记为曲线
,若曲线
与
轴的正半轴的交点为
,且曲线
上的相异两点
满足:
.
(1)求曲线的轨迹方程;
(2)证明直线恒经过一定点,并求此定点的坐标;
(3)求面积
的最大值.
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【题目】已知抛物线G的顶点在原点,焦点在y轴正半轴上,点P(m,4)到其准线的距离等于5.
(1)求抛物线G的方程;
(2)如图,过抛物线G的焦点的直线依次与抛物线G及圆x2+(y﹣1)2=1交于A、C、D、B四点,试证明|AC||BD|为定值;
(3)过A、B分别作抛物G的切线l1,l2且l1,l2交于点M,试求△ACM与△BDM面积之和的最小值.
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【题目】某单位有员工1000名,平均每人每年创造利润10万元,为了增加企业竞争力,决定优化产业结构,调整出(
)名员工从事第三产业,调整后这
名员工他们平均每人创造利润为
万元,剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高
.
(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润,则最多调整多少名员工从事第三产业?
(2)设,若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,求
的最大值.
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【题目】已知数据,
,
,
是上海普通职
(
,
)个人的年收入,设这
个数据的中位数为
,平均数为
,方差为
,如果再加上世界首富的年收入
,则这
个数据中,下列说法正确( )
A.年收入平均数大大增大,中位数一定变大,方差可能不变
B.年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差变大
C.年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差也不变
D.年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差可能不变
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某市2013年发放汽车牌照12万张,其中燃油型汽车牌照10万张,电动型汽车2万张,为了节能减排和控制总量,从2013年开始,每年电动型汽车牌照按50%增长,而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张,同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张,以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变.
(1)记2013年为第一年,每年发放的燃油型汽车牌照数量构成数列,每年发放电动型汽车牌照数为构成数列
,完成下列表格,并写出这两个数列的通项公式;
(2)从2013年算起,累计各年发放的牌照数,哪一年开始超过200万张?
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【题目】给出如下四个命题:①若“且
”为假命题,则
均为假命题;②命题“若
,则
”的否命题为“若
,则
”; ③“
,则
”的否定是“
,则
”;④在
中,“
”是“
”的充要条件.其中正确的命题的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
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