【题目】已知抛物线G的顶点在原点,焦点在y轴正半轴上,点P(m,4)到其准线的距离等于5.
(1)求抛物线G的方程;
(2)如图,过抛物线G的焦点的直线依次与抛物线G及圆x2+(y﹣1)2=1交于A、C、D、B四点,试证明|AC||BD|为定值;
(3)过A、B分别作抛物G的切线l1,l2且l1,l2交于点M,试求△ACM与△BDM面积之和的最小值.
【答案】(1)x2=4y;(2)详见解析;(3)2.
【解析】
(1)利用抛物线的焦半径公式求P;(2)设直线AB方y=kx+1,与抛物线联立消去,结合焦半径公式化简从而得到定值;(3)欲求面积之和的最小值,利用直线AB的斜率作为自变量,建立函数模型,转化成求函数的最值问题.
(1)由题知,抛物线的准线方程为y+1=0,故1
所以抛物线C的方程为x2=4y.
(2)当直线AB的斜率不存在时,直线与抛物线只有一个交点,
故直线AB的斜率一定存在,
设直线AB方y=kx+1交抛物线C于点A(x1,y1),B(x2,y2),
由抛物线定义知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,
所以|AC|=y1,|BD|=y2,
由得x2﹣4kx﹣4=0,
显然△>0,则x1+x2=4k,x1x2=﹣4,
所以y1y21,所以|AC||BD|为定值1.
(3)由x2=4y,yx2, x,
得直线AM方程yx1(x﹣x1)(1),
直线BM方程yx2(x﹣x2)(2),
由(2)﹣(1)得(x1﹣x2)x,
所以x(x1+x2)=2k,∴y=﹣1
所以点M坐标为(2k,﹣1),
点M到直线AB距离d2,
弦AB长为|AB|4(1+k2),
△ACM与△BDM面积之和,
S(|AB|﹣2)d(2+4k2)×22(1+2k2),
当k=0时,即AB方程为y=1时,△ACM与△BDM面积之和最小值为2.
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【题目】已知抛物线(),其准线方程,直线过点(),且与抛物线交于、两点,为坐标原点.
(1)求抛物线方程,并注明:的值与直线倾斜角的大小无关;
(2)若为抛物线上的动点,记的最小值为函数,求的解析式.
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【题目】某企业参加项目生产的工人为人,平均每人每年创造利润万元.根据现实的需要,从项目中调出人参与项目的售后服务工作,每人每年可以创造利润万元(),项目余下的工人每人每年创造利图需要提高
(1)若要保证项目余下的工人创造的年总利润不低于原来名工人创造的年总利润,则最多调出多少人参加项目从事售后服务工作?
(2)在(1)的条件下,当从项目调出的人数不能超过总人数的时,才能使得项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润,求实数的取值范围.
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【题目】某旅游胜地欲开发一座景观山,从山的侧面进行勘测,迎面山坡线由同一平面的两段抛物线组成,其中所在的抛物线以为顶点、开口向下,所在的抛物线以为顶点、开口向上,以过山脚(点)的水平线为轴,过山顶(点)的铅垂线为轴建立平面直角坐标系如图(单位:百米).已知所在抛物线的解析式,所在抛物线的解析式为
(1)求值,并写出山坡线的函数解析式;
(2)在山坡上的700米高度(点)处恰好有一小块平地,可以用来建造索道站,索道的起点选择在山脚水平线上的点处,(米),假设索道可近似地看成一段以为顶点、开口向上的抛物线当索道在上方时,索道的悬空高度有最大值,试求索道的最大悬空高度;
(3)为了便于旅游观景,拟从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶,台阶每级的高度为20厘米,长度因坡度的大小而定,但不得少于20厘米,每级台阶的两端点在坡面上(见图).试求出前三级台阶的长度(精确到厘米),并判断这种台阶能否一直铺到山脚,简述理由?
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【题目】设抛物线的方程为,其中常数,是抛物线的焦点.
(1)若直线被抛物线所截得的弦长为6,求的值;
(2)设是点关于顶点的对称点,是抛物线上的动点,求的最大值;
(3)设,、是两条互相垂直,且均经过点的直线,与抛物线交于点、,与抛物线交于点、,若点满足,求点的轨迹方程.
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【题目】如图1,一艺术拱门由两部分组成,下部为矩形的长分别为米和米,上部是圆心为的劣弧,
(1)求图1中拱门最高点到地面的距离:
(2)现欲以点为支点将拱门放倒,放倒过程中矩形所在的平面始终与地面垂直,如图2、图3、图4所示,设与地面水平线所成的角为.若拱门上的点到地面的最大距离恰好为到地面的距离,试求的取值范围.
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