【题目】如图1,一艺术拱门由两部分组成,下部为矩形的长分别为
米和
米,上部是圆心为
的劣弧
,
(1)求图1中拱门最高点到地面的距离:
(2)现欲以点为支点将拱门放倒,放倒过程中矩形
所在的平面始终与地面垂直,如图2、图3、图4所示,设
与地面水平线
所成的角为
.若拱门上的点到地面的最大距离恰好为
到地面的距离,试求
的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)根据及
,可求得圆的半径,根据最高点与圆心的关系即可求得到地面的距离.
(2)通过讨论P点所在的位置以及三角函数的性质可判断出h取最大值时θ取值范围.
(1)过O点作交
于
,交
于
,交
于
.如下图所示:
则即为所求.
因为,
所以
则
所以
即拱门最高点到地面的距离为5米
(2)在拱门放倒过程中,过点O作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P.
当点P在劣弧CD上时,拱门上的点到地面的最大距离h等于圆O的半径长与圆心O到地面距离之和;
当点P在线段AD上时,拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地面的距离.
由(1)知,在Rt△OO1B中,OB2
.
以B为坐标原点,直线l为x轴,建立如图所示的坐标系.
①当点P在劣弧CD上时,.
由∠OBx=θ,OB=2
,
由三角函数定义,得O(2cos(
),2
),
则h=2+2,所以当θ
即θ
时,h取得最大值2+2
,
②当点P在线段AD上时,0≤θ.
设∠CBD=φ,在Rt△BCD中,DB2
,sinφ
,cosφ
.
由∠DBx=θ+φ,得D(2(θ+φ),2
(θ+φ)).
所以h=2(θ+φ)=4sinθ+2
cosθ,
又当0<θ时,h′=4cosθ﹣2
sinθ>4cos
2
sin
0,
所以h=4sinθ+2在[0,
]上递增.
所以当θ时,h取得最大值5.
因为2+25,所以h的最大值为2+2
.
综上,若拱门上的点到地面的最大距离恰好为D到地面的距离,则θ.
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【题目】若是递增数列,数列
满足:对任意
,存在
,使得
,则称
是
的“分隔数列”.
(1)设,证明:数列
是
的分隔数列;
(2)设是
的前n项和,
,判断数列
是否是数列
的分隔数列,并说明理由;
(3)设是
的前n项和,若数列
是
的分隔数列,求实数
的取值范围.
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【题目】已知抛物线G的顶点在原点,焦点在y轴正半轴上,点P(m,4)到其准线的距离等于5.
(1)求抛物线G的方程;
(2)如图,过抛物线G的焦点的直线依次与抛物线G及圆x2+(y﹣1)2=1交于A、C、D、B四点,试证明|AC||BD|为定值;
(3)过A、B分别作抛物G的切线l1,l2且l1,l2交于点M,试求△ACM与△BDM面积之和的最小值.
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【题目】已知数据,
,
,
是上海普通职
(
,
)个人的年收入,设这
个数据的中位数为
,平均数为
,方差为
,如果再加上世界首富的年收入
,则这
个数据中,下列说法正确( )
A.年收入平均数大大增大,中位数一定变大,方差可能不变
B.年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差变大
C.年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差也不变
D.年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差可能不变
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【题目】对于定义在上的函数
,如果存在两条平行直线
与
,使得对于任意
,都有
恒成立,那么称函数
是带状函数,若
,
之间的最小距离
存在,则称
为带宽.
(1)判断函数是不是带状函数?如果是,指出带宽(不用证明);如果不是,说明理由;
(2)求证:函数(
)是带状函数;
(3)求证:函数(
)为带状函数的充要条件是
.
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【题目】某市2013年发放汽车牌照12万张,其中燃油型汽车牌照10万张,电动型汽车2万张,为了节能减排和控制总量,从2013年开始,每年电动型汽车牌照按50%增长,而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张,同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张,以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变.
(1)记2013年为第一年,每年发放的燃油型汽车牌照数量构成数列,每年发放电动型汽车牌照数为构成数列
,完成下列表格,并写出这两个数列的通项公式;
(2)从2013年算起,累计各年发放的牌照数,哪一年开始超过200万张?
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【题目】已知双曲线过点
,且渐近线方程为
,直线
与曲线
交于点
、
两点.
(1)求双曲线的方程;
(2)若直线过原点,点
是曲线
上任一点,直线
,
的斜率都存在,记为
、
,试探究
的值是否与点
及直线
有关,并证明你的结论;
(3)若直线过点
,问在
轴上是否存在定点
,使得
为常数?若存在,求出点
坐标及此常数的值;若不存在,说明理由.
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【题目】已知直线l的参数方程为为参数), 椭圆C的参数方程为
为参数)。在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点A的极坐标为(2,
(1)求椭圆C的直角坐标方程和点A在直角坐标系下的坐标
(2)直线l与椭圆C交于P,Q两点,求△APQ的面积
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