Question

【题目】已知双曲线过点，且渐近线方程为，直线与曲线交于点、两点.

（1）求双曲线的方程；

（2）若直线过原点，点是曲线上任一点，直线，的斜率都存在，记为、，试探究的值是否与点及直线有关，并证明你的结论；

（3）若直线过点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2），的值与点及直线无关，证明见解析；（3）存在，， ，理由见解析

【解析】

（1）根据渐近线设出渐近线方程，将点代入即可求出双曲线的方程.

（2）根据直线与双曲线的对称性知道点与点关于原点对称，设出点、、，将其斜率表示出来，利用点、在双曲线上，化简即可说明为定值且直线与关.

（3）根据题意设出直线与点，联立直线与双曲线，表示出，利用为定值，即与斜率无关，根据比值即可求出定点与的值.

（1） 因为渐近线方程为.

所以可设双曲线为,

将点代入，解得

所以双曲线的方程为

（2）直线过原点,由双曲线的对称性知道，点、关于原点对称.

设点 ，，则点

代入，有，

所以，.

将，代入得.

所以，的值与点及直线无关.

（3）由题意知直线斜率存在，故设直线为 ，点、、

由，得 ，且

又，，

所以

令解得，此时