Question

【题目】对于给定的正整数，若数列满足对任意正整数恒成立，则称数列是数列，若正数项数列，满足：对任意正整数恒成立，则称是数列；

（1）已知正数项数列是数列，且前五项分别为、、、、，求的值；

（2）若为常数，且是数列，求的最小值；

（3）对于下列两种情形，只要选作一种，满分分别是 ①分，②分，若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答记分.

① 证明：数列是等差数列的充要条件为“既是数列，又是数列”；

②证明：正数项数列是等比数列的充要条件为“数列既是数列，又是数列”.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）①证明见解析；②证明见解析.

【解析】

（1）根据定义得出，再由可求出的值；

（2）根据定义得出，化简得出，然后利用两角和与差的正弦公式化简得出，求出的值，由此可得出的最小值；

（3）①利用等差中项的性质可推出充分性成立，由数列是数列和数列的定义推导出，结合等差中项的定义可得知必要性成立；

②利用等比中项的定义可推出充分性成立，由数列是数列和数列的定义推导出，利用等比中项的定义可得知必要性成立.

（1）由于正项数列是数列，则，，解得；

（2）由于数列是数列，对任意的，，

则有，

化简得，

由两角和与差的正弦公式可得，

上述等式对任意的的正整数恒成立，所以，，

即，，解得，正数的最小值为；

（3）①充分性：若数列是等差数列，当时，由等差中项的性质可得，，，

上述等式全部相加得，

，则数列是数列.

当时，由等差中项的性质可得，，

上述等式全部相加得，，

则数列是数列.

必要性：若数列是数列，当时，

则，（i）

若数列是数列，则，（ii）

，（iii）

（iii）（ii）（i）得，，化简得.

因此，当时，数列从第三项开始成等差数列，设公差为.

注意到，

可得，

因为，

可得，

即数列前项也满足等差数列的通项公式，所以，数列是等差数列.

因此，数列是等差数列的充要条件为“既是数列，又是数列”；

②充分性：若数列是等比数列，当时，由等比中项的性质可得，，，上述等式全部相乘得，

所以，，则等比数列为数列；

若数列是等比数列，当时，由等比中项的性质可得，，，上述等式全部相乘得，所以，，

则等比数列为数列；

必要性：若数列是数列，当时，则，（iv）

若数列是数列，则，（v），（vi）

（iv）（v）（vi）得，，，化简得.

因此，当时，数列从第三项开始成等比数列，设公比为.

注意到，可得，

因为，，

即数列前项也满足等比数列的通项公式，所以，数列是等比数列.

因此，正数项数列是等比数列的充要条件为“数列既是数列，又是数列”.