Question

【题目】如图，已知椭圆：，左顶点为，经过点，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知为的中点，，证明：对于任意的都有恒成立；

（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）.

【解析】

（1）根据待定系数法求得椭圆的方程；

（2）利用点差法求出直线的斜率，再利用直线的斜率相乘为，证得两直线垂直；

（3）将式子表示成关于的表达式，再利用基本不等式求得最小值.

（1）由题意得：，所以椭圆，

因为点在椭圆上，所以，

所以椭圆的方程为.

（2）设，

所以，

所以，

因为直线的斜率为，所以，

设直线的方程为，

当时，，故，

所以，所以，

所以对于任意的都有恒成立.

（3）因为，所以设的方程为，代入得：，

所以，.

由，得，

所以弦长，

所以，

所以，

等号成立当且仅当.

所以的最小值为.