【题目】已知,函数,,若函数有4个零点,则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
画出函数的图像,对分成,等种情况,研究零点个数,由此求得的取值范围.
令,画出函数的图像如下图所示,由图可知,
(1)当或时,存在唯一,使,而至多有两个根,不符合题意.
(2)当时,由解得,由化简得,其判别式为正数,有两个不相等的实数根;由化简得,其判别式为正数,有两个不相等的实数根.由于上述四个实数根互不相等,故时,符合题意.
(3)当时,由解得,由化简得,其判别式为负数,没有实数根;由化简得,其判别式为正数,有两个不相等的实数根.故当时,不符合题意.
(4)当时,由,根据图像可知有三个解,不妨设.
即
即.
i)当时,,故①②③三个方程都分别有个解,共有个解,不符合题意.
ii)当时,,①有个解,②③分别有个解,共有个解,不符合题意.
iii)当时,,①无解,②③分别有个解,共有个解,符合题意.
iv)当时,,①无解,②有个解,③有两个解,共有个解,不符合题意.
v)当时,,①无解,②无解,③至多有个解,不符合题意.
综上所述,的取值范围是.
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【题目】某旅游胜地欲开发一座景观山,从山的侧面进行勘测,迎面山坡线由同一平面的两段抛物线组成,其中所在的抛物线以为顶点、开口向下,所在的抛物线以为顶点、开口向上,以过山脚(点)的水平线为轴,过山顶(点)的铅垂线为轴建立平面直角坐标系如图(单位:百米).已知所在抛物线的解析式,所在抛物线的解析式为
(1)求值,并写出山坡线的函数解析式;
(2)在山坡上的700米高度(点)处恰好有一小块平地,可以用来建造索道站,索道的起点选择在山脚水平线上的点处,(米),假设索道可近似地看成一段以为顶点、开口向上的抛物线当索道在上方时,索道的悬空高度有最大值,试求索道的最大悬空高度;
(3)为了便于旅游观景,拟从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶,台阶每级的高度为20厘米,长度因坡度的大小而定,但不得少于20厘米,每级台阶的两端点在坡面上(见图).试求出前三级台阶的长度(精确到厘米),并判断这种台阶能否一直铺到山脚,简述理由?
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【题目】对于给定的正整数,若数列满足对任意正整数恒成立,则称数列是数列,若正数项数列,满足:对任意正整数恒成立,则称是数列;
(1)已知正数项数列是数列,且前五项分别为、、、、,求的值;
(2)若为常数,且是数列,求的最小值;
(3)对于下列两种情形,只要选作一种,满分分别是 ①分,②分,若选择了多于一种情形,则按照序号较小的解答记分.
① 证明:数列是等差数列的充要条件为“既是数列,又是数列”;
②证明:正数项数列是等比数列的充要条件为“数列既是数列,又是数列”.
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【题目】定义:若函数对任意的,都有成立,则称为上的“淡泊”函数.
(1)判断是否为上的“淡泊”函数,说明理由;
(2)是否存在实数,使为上的“淡泊”函数,若存在,求出的取值范围;不存在,说明理由;
(3)设是上的“淡泊”函数(其中不是常值函数),且,若对任意的,都有成立,求的最小值.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面,,点、分别在线段、上,且,其中,连接,延长与的延长线交于点,连接.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)若时,求二面角的正弦值;
(Ⅲ)若直线与平面所成角的正弦值为时,求值.
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