Question

【题目】若是递增数列，数列满足：对任意，存在，使得，则称是的“分隔数列”.

（1）设，证明：数列是的分隔数列；

（2）设是的前n项和，，判断数列是否是数列的分隔数列，并说明理由；

（3）设是的前n项和，若数列是的分隔数列，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）数列不是数列的分隔数列；（3）.

【解析】

（1）由新定义，可得2n≤m+1＜2n+2，求得m＝2n，即可得证；

（2）运用等差数列的求和公式，结合新定义，即可判断；

（3）讨论a＞0，q＞1或a＜0，0＜q＜1，结合新定义，加以恒成立思想，解不等式即可得到所求范围．

（1）∵{cn}是递增数列，数列{an}满足：对任意n∈N*，存在m∈N*，使得，

∴cn≤am＜cn+1，

∵cn＝2n，am＝m+1，

∴2n≤m+1＜2n+2，

∴2n﹣1＜m≤2n+1，

∴m＝2n，

∴对任意n∈N*，存在m＝2n∈N*，使得，则称{an}是{cn}的“分隔数列；

（2）cn＝n﹣4，Sn是{cn}的前n项和，dn＝c3n﹣2，

∴dn＝（3n﹣2）﹣4＝3n﹣6，

∴d1＝﹣3，

∴Sn＝＝n（n﹣7），

若数列{Sn}是数列{dn}的分隔数列，

∴3n﹣6≤m（m﹣7）＜3n﹣3，

即6（n﹣2）≤m（m﹣7）＜6（n﹣1），

由于n＝4时，12≤m（m﹣7）＜18，

不存在自然数m，使得不等式成立，

∴数列{Sn}不是数列{dn}的分隔数列；

（3）设，Tn是{cn}的前n项和，

∵数列{Tn}是{cn}的分隔数列，

则{cn}为递增，

当a＞0时，q＞1，

∴aqn﹣1≤＜aqn，

即有qm﹣1＜qn（q﹣1），且qm﹣1≥qn﹣1（q﹣1），

当1＜q＜2时，数列最小项可以得到m不存在；

q＞2时，由m＝n，qm﹣1≥qn﹣1（q﹣1）成立；

qn﹣1＜qn（q﹣1）成立，可得n＝2时，q2﹣1＜q2（q﹣1），

解得q＞2，对n＞3也成立；

当a＜0时，0＜q＜1时，

aqn﹣1≤＜aqn，

即有1﹣qm＞qn（1﹣q），且1﹣qm≤qn﹣1（1﹣q），

取m＝n+1，可得1﹣qm＞qn（1﹣q）成立，

1﹣qn+1≤qn﹣1（1﹣q）成立，可得q＝0恒成立，

则a＜0，0＜q＜1不成立，

综上可得，a＞0，q＞2．