【题目】设个正数
依次围成一个圆圈,其中
是公差为
的等差数列,而
是公比为
的等比数列.
(1)若,求数列
的所有项的和
;
(2)若,求
的最大值;
(3)当时是否存在正整数
,满足
?若存在,求出
值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)
时,存在
满足等式.
【解析】
(1)先由题意得到,确定数列
中元素,即可得出结果;
(2)先由是首项为
,公差为
的等差数列,得到
;根据
是公比为
的等比数列,所以
,推出
,再由题意,即可得出结果;
(3)先由题意得到,
,得到
,再由题中条件,得到
,进而可求出结果.
(1)由题意可得:,
因此数列为
共
个数,
此时,
;
(2)因为是首项为
,公差为
的等差数列,所以
;
而是公比为
的等比数列,所以
,因此
,
所以,因此,要使
最大,则
最大;
又,故
的最大值为
,可得:
,
解得:;即
的最大值为
;
(3)由是公差为
的等差数列,可得:
,
而是公比为
的等比数列,所以
.
故,即
,
又,
,
所以,即
,
即,即
,因此
,
所以,
所以;代入验证可得:当
时,上式等式成立,此时
;
综上,当且仅当时,存在
满足等式.
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【题目】已知坐标平面上动点与两个定点
,
,且
.
(1)求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;
(2)记(1)中轨迹为,过点
的直线
被
所截得的线段长度为8,求直线
的方程.
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【题目】已知互不重合的直线,互不重合的平面
,给出下列四个命题,正确命题的个数是
①若
,
,
,则
②若,
,
则
③若,
,
,则
④若
,
,则
//
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】下列命题:①“”是“存在
,使得
成立”的充分不必要条件;②“
”是“存在
,使得
成立”的必要条件;③“
”是“不等式
对一切
恒成立”的充要条件. 其中所以真命题的序号是
A.③B.②③C.①②D.①③
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【题目】已知点,(
为正整数)都在函数
的图象上.
(1)若数列是等差数列,证明:数列
是等比数列;
(2)设,过点
的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为
,试求最小的实数
,使
对一切正整数
恒成立;
(3)对(2)中的数列,对每个正整数
,在
与
之间插入
个3,得到一个新的数列
,设
是数列
的前
项和,试探究2016是否是数列
中的某一项,写出你探究得到的结论并给出证明.
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【题目】随着科技的发展,网购已经逐渐融入了人们的生活.在家里面不用出门就可以买到自己想要的东西,在网上付款即可,两三天就会送到自己的家门口,如果近的话当天买当天就能送到,或者第二天就能送到,所以网购是非常方便的购物方式.某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数(单位:人)与时间
(单位:年)的数据,列表如下:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
24 | 27 | 41 | 64 | 79 |
(1)依据表中给出的数据,是否可用线性回归模型拟合与
的关系,请计算相关系数
并加以说明(计算结果精确到0.01).(若
,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合)
附:相关系数公式
,参考数据
.
(2)建立关于
的回归方程,并预测第六年该公司的网购人数(计算结果精确到整数).
(参考公式:
,
)
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【题目】在平面直角坐标系中,点
在椭圆
上,过点
的直线
的方程为
.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)若直线与
轴、
轴分别相交于
两点,试求
面积的最小值;
(Ⅲ)设椭圆的左、右焦点分别为
,
,点
与点
关于直线
对称,求证:点
三点共线.
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【题目】非空有限集合是由若干个正实数组成,集合
的元素个数
.对于任意
,数
或
中至少有一个属于
,称集合
是“好集”:否则,称集合
是“坏集”.
(1)判断和
是“好集”,还是“坏集”;
(2)题设的有限集合中,既有大于1的元素,又有小于1的元素,证明:集合
是“坏集”.
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