【题目】在平面直角坐标系中,点
在椭圆
上,过点
的直线
的方程为
.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)若直线与
轴、
轴分别相交于
两点,试求
面积的最小值;
(Ⅲ)设椭圆的左、右焦点分别为
,
,点
与点
关于直线
对称,求证:点
三点共线.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
;(Ⅲ)见解析
【解析】
(Ⅰ)求得椭圆C的a,b,c,运用离心率公式计算即可得到所求值;(Ⅱ)在直线l中,分别令x=0,y=0,求得A,B的坐标,求得三角形OAB的面积,由P代入椭圆方程,运用基本不等式即可得到所求最小值;(Ⅲ)讨论①当x0=0时,P(0,±1),②当x0≠0时,设点Q(m,n),运用对称,分别求得Q的坐标,运用三点共线的条件:斜率相等,即可得证.
(Ⅰ)依题意可知,
,所以椭圆
离心率为
.
(Ⅱ)因为直线与
轴,
轴分别相交于
两点,所以
.
令,由
得
,则
.
令,由
得
,则
.
所以的面积
.
因为点在椭圆
上,所以
.
所以.即
,则
.
所以.
当且仅当,即
时,
面积的最小值为
.
(Ⅲ)①当时,
.当直线
时,易得
,此时
,
.
因为,所以三点
共线.同理,当直线
时,三点
共线.
②当时,设点
,因为点
与点
关于直线
对称,
所以整理得
解得所以点
.
又因为,
,且
.
所以
.所以点
三点共线.
综上所述,点三点共线.
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【题目】如图,四棱锥P-ABCD底面为正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD,点M为线段PA上任意一点(不含端点),点N在线段BD上,且PM=DN.
(1)求证:直线MN∥平面PCD.
(2)若点M为线段PA的中点,求直线PB与平面AMN所成角的余弦值.
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【题目】设个正数
依次围成一个圆圈,其中
是公差为
的等差数列,而
是公比为
的等比数列.
(1)若,求数列
的所有项的和
;
(2)若,求
的最大值;
(3)当时是否存在正整数
,满足
?若存在,求出
值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图1,在边长为4的菱形中,
,
于点
,将
沿
折起到
的位置,使
,如图2.
(1)求证:平面
;
(2)求二面角的余弦值;
(3)判断在线段上是否存在一点
,使平面
平面
?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
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【题目】己知数列,首项
,设该数列的前
项的和为
,且
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足
,求数列
的通项公式;
(3)在第(2)小题的条件下,令,
是数列
的前
项和,若对
,
恒成立,求
的取值范围.
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【题目】将个不同的红球和
个不同的白球,放入同一个袋中,现从中取出
个球.
(1)若取出的红球的个数不少于白球的个数,则有多少种不同的取法;
(2)取出一个红球记分,取出一个白球记
分,若取出
个球的总分不少于
分,则有多少种不同的取法;
(3)若将取出的个球放入一箱子中,记“从箱子中任意取出
个球,然后放回箱子中”为一次操作,如果操作三次,求恰有一次取到
个红球并且恰有一次取到
个白球的概率.
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【题目】定义:圆心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于圆的距离比.
(1)设圆求过
(2,0)的直线关于圆
的距离比
的直线方程;
(2)若圆与
轴相切于点
(0,3)且直线
=
关于圆
的距离比
,求此圆的
的方程;
(3)是否存在点,使过
的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆
的距离比始终相等?若存在,求出相应的点
点坐标;若不存在,请说明理由.
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