Question

【题目】已知坐标平面上动点与两个定点， ，且.

（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；

（2）记（1）中轨迹为，过点的直线被所截得的线段长度为8，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1），轨迹是以为圆心，以5为半径的圆；（2）直线的方程为或.

【解析】试题分析：（1）根据题意，分析可得，对其化简整理变形可得，由圆的标准方程即可得答案；

（2）分两种情况讨论：①当直线l的斜率不存在，②当直线l的斜率存在时，每种情况下先设出直线的方程，利用直线l被C所截得的线段长度为8，可得关于k的方程，解可得k的值，综合即可得答案．

试题解析：

（Ⅰ）由题意，得，即： ，

化简，得： ，

所以点的轨迹方程是.

轨迹是以为圆心，以5为半径的圆.

（Ⅱ）当直线的斜率不存在时， ，

此时所截得的线段的长为.

所以符合题意.

当直线的斜率存在时，设的方程为，

即，圆心到的距离，

由题意，得，解得.

所以直线的方程为，

即.综上，直线的方程为或.