【题目】日照一中为了落实“阳光运动一小时”活动,计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地.如图,点M在AC上,点N在AB上,且P点在斜边BC上,已知∠ACB=60°且|AC|=30米,|AM|=x米,x∈[10,20].
(1)试用x表示S,并求S的取值范围;
(2)若在矩形AMPN以外(阴影部分)铺上草坪.已知:矩形AMPN健身场地每平方米的造价为,草坪的每平方米的造价为
(k为正常数).设总造价T关于S的函数为T=f(S),试问:如何选取|AM|的长,才能使总造价T最低.
【答案】(1)(2)12米或18米
【解析】
试题(1)根据题意,分析可得,欲求健身场地占地面积,只须求出图中矩形的面积即可,再结合矩形的面积计算公式求出它们的面积即得,最后再根据二次函数的性质得出其范围;
(2)对于(1)所列不等式,考虑到其中两项之积为定值,可利用基本不等式求它的最大值,从而解决问题.
解:(1)在Rt△PMC中,显然|MC|=30﹣x,∠PCM=60°
∴|PM|=|MC|tan∠PCM=(30﹣x),…2分
矩形AMPN的面积S=|PM||MC|=x(30﹣x),x∈[10,20]…4分
于是200≤S≤225
为所求.…6分
(2)矩形AMPN健身场地造价T1=37k…7分
又△ABC的面积为450,即草坪造价T2=
S)…8分
由总造价T=T1+T2,∴T=25k(+
),200
≤S≤225
.…10分
∴T=25k(+
),200
≤S≤225
∵+
≥12
,…11分
当且仅当=
即S=216
时等号成立,…12分
此时x(30﹣x)=216
,解得x=12或x=18,
所以选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低.…14分.
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【题目】自然状态下的鱼类是一种可再生资源,为了持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响.用表示某鱼群在第
年年初的总量且
.不考虑其他因素,设在第
年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与
成正比,死亡量与
成正比,这些比例系数依次为正常数
,
,
(1)求与
的关系式
(2)若每年年初鱼群的总量保持不变,求,
,
,
所应满足的条件
(3)设,
,为保证对任意
,都有
,则捕捞强度
的最大允许值是多少?并说明理由.
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【题目】已知函数,若存在常数
,对任意
都有
,则称函数
为T倍周期函数.
(1)判断是否是T倍周期函数,并说明理由;
(2)证明是T倍周期函数,且T的值是唯一的;
(3)若是2倍周期函数,
,
,
表示
的前n项和,
,若
恒成立,求a的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系中,动点
到定点
的距离与它到直线
的距离相等.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)设动直线与曲线
相切于点
,与直线
相交于点
.
证明:以为直径的圆恒过
轴上某定点.
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【题目】函数图象上不同两点
,
,
,
处的切线的斜率分别是
,
,规定
叫曲线
在点
与点
之间的“弯曲度”,给出以下命题:
(1)函数图象上两点
、
的横坐标分别为1,2,则
;
(2)存在这样的函数,图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数;
(3)设点、
是抛物线,
上不同的两点,则
;
(4)设曲线上不同两点
,
,
,
,且
,若
恒成立,则实数
的取值范围是
;
以上正确命题的序号为__(写出所有正确的)
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【题目】如图,在四棱柱中,侧棱
底面
,
,
,
,
,
,
,(
)
(1)求证:平面
;
(2)若直线与平面
所成角的正弦值为
,求
的值;
(3)现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱,规定:若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案,问共有几种不同的拼接方案?在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为
,写出
的解析式.(直接写出答案,不必说明理由)
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【题目】在直角坐标系中,对于点
,定义变换
:将点
变换为点
,使得
其中
.这样变换
就将坐标系
内的曲线变换为坐标系
内的曲线.则四个函数
,
,
,
在坐标系
内的图象,变换为坐标系
内的四条曲线(如图)依次是
A. ②,③,①,④B. ③,②,④,①C. ②,③,④,①D. ③,②,①,④
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【题目】
在平面直角坐标系中,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为:,经过点
,倾斜角为
的直线l与曲线C交于A,B两点
(I)求曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程;
(Ⅱ)求的值。
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