Question

已知椭圆的中心为O，长轴、短轴的长分别为2a，2b（a＞b＞0），A，B分别为椭圆上的两点，且OA⊥OB．
（1）求证：

1

|OA|2

+

1

|OB|2

为定值；
（2）求△AOB面积的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）可利用直线OA，OB方程与椭圆方程联立求A，B点坐标满足的一元方程，进而求出A，B的横纵坐标的平方，代入

1

|OA|2

+

1

|OB|2

，化简即可．
（2）由S_△AOB=

1

2

|OA||OB|，

1

|OA|2

+

1

|OB|2

=

a2+b2

a2b2

，可根据均值不等式求最小值，再根据S²_△AOB=

1

4

|OA|2|OB|2，把|OB|²转化为|OA|²，再根据椭圆中|OA|范围即可求出面积最大值．

解答：解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=  1，设当直线OA斜率存在且不为0时，设方程为y=kx，
∵A，B分别为椭圆上的两点，且OA⊥OB．∴直线OB方程为y=-

1

k

x
设A（x₁，y₁），b（x₂，y₂），把y=kx代入

x2

a2

+

y2

b2

=1得x12=

a2b2

b2+a2k2

，∴y12=

k2a2b2

b2+a2k2

把y=-

1

k

x代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，得 x22=

a2b2k2

a2+b2k2

，∴y22=

a2b2

a2+b2k2

                        
 

1

|OA|2

+

1

|OB|2

=

1

x12+y12

+

1

x22+y22

=

1

a2b2 b2+a2k2 +   k2a2b2 b2+a2k2

+

1

a2b2k2 a2+b2k2 +   a2b2 a2+b2k2

=

a2+b2

a2b2

当直线OA，OB其中一条斜率不存在时，则另一条斜率为0此时

1

|OA|2

+

1

|OB|2

=

1

a2

+

1

b2

=

a2+b2

a2b2

综上，

1

|OA|2

+

1

|OB|2

为定值

（2）S_△AOB=

1

2

|OA||OB|，∴S²_△AOB=

1

4

|OA|²|OB|²
由（1）知

1

|OA|2

+

1

|OB|2

=

a2+b2

a2b2

≥2

1 |OA|2 1 |OB|2

=

2

|OA||OB|

∴S_△AOB=

1

2

|OA||OB|≥

a2b2

a2+b2

，∴S△AOBmin=

a2b2

a2+b2

．
∵S²_△AOB=

1

4

|OA|²|OB|²=

1

4

|OA|²(

1

a2+b2 a2b2 -   1 |OA|2

)
=

1

4

(

1

a2+b2 a2b2|OA|2 -  1 |OA|4

)，随着|OA|的增加，此函数值在增加
∵|OA|≤a，∴S²_△AOB≤

1

4

(

1

a2+b2 a2×b2×a2 - 1 a4

)=

1

4

a²b²
∴S△AOBmax=

ab

2

综上S△AOBmin=

a2b2

a2+b2

，S△AOBmax=

ab

2

点评：本题考查了椭圆中定植问题和最值问题，与不等式联系，题目较难，应认真分析题意．