Question

已知n是不小于3的正整数，，．
（1）求a_n，b_n；
（2）设，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于a_n，b_n是以和式出现，而且与组合数有关，借助于kC_n^k=nC_n-1^k-1，可进行转化，从而求出数列的通项公式；
（2）由（1）知，∴，从而利用裂项求和法求和，故可证．
解答：解：（1），
因为kC_n^k=nC_n-1^k-1，所以a_n=nC_n-1+nC_n-1¹+…+nC_n-1^n-1=n（C_n-1+C_n-1¹+…+C_n-1^n-1）=n•2^n-1．…3分
因为k²C_n^k=k•kC_n^k=k•nC_n-1^k-1，而kC_n-1^k-1=（k-1）C_n-1^k-1+C_n-1^k-1=（n-1）C_n-2^k-2+C_n-1^k-1（k≥2），
所以，
=n（n-1）•2^n-2+n•2^n-1=n（n+1）•2^n-2．
（2），
所以．
点评：本题主要考查数列通项的求解及裂项求和法，同时考查了组合数的性质，有一定的综合性．