Question

已知n是不小于3的正整数，an=

n

k=1

k

C

k n

，bn=

n

k=1

k2

C

k n

．
（1）求a_n，b_n；
（2）设cn=

an

bn

，求证：

n

k=1

(ckck+1)＜2．

Answer 1

分析：（1）由于a_n，b_n是以和式出现，而且与组合数有关，借助于kC_n^k=nC_n-1^k-1，可进行转化，从而求出数列的通项公式；
（2）由（1）知cn=

an

bn

=

2

n+1

，∴ckck+1=4(

1

k+1

-

1

k+2

)，从而利用裂项求和法求和，故可证．

解答：解：（1）an=

n

k=1

k

C

k n

=

C

1 n

+2

C

2 n

+…+n

C

n n

，
因为kC_n^k=nC_n-1^k-1，所以a_n=nC_n-1⁰+nC_n-1¹+…+nC_n-1^n-1=n（C_n-1⁰+C_n-1¹+…+C_n-1^n-1）=n•2^n-1．…3分
因为k²C_n^k=k•kC_n^k=k•nC_n-1^k-1，而kC_n-1^k-1=（k-1）C_n-1^k-1+C_n-1^k-1=（n-1）C_n-2^k-2+C_n-1^k-1（k≥2），
所以，bn=

n

k=1

k2

C

k n

=n+

n

k=2

[n(n-1)

C

k-2 n-2

+n

C

k-1 n-1

]=n+n(n-1)

n

k=2

C

k-2 n-2

+n

n

k=2

C

k-1 n-1

=n（n-1）•2^n-2+n•2^n-1=n（n+1）•2^n-2．
（2）cn=

an

bn

=

n•2n-1

n(n+1)•2n-2

=

2

n+1

，
所以

n

k=1

(ckck+1)=4

n

k=1

(

1

k+1

-

1

k+2

)=4(

1

2

-

1

n+2

)＜2．

点评：本题主要考查数列通项的求解及裂项求和法，同时考查了组合数的性质，有一定的综合性．