Question

【题目】已知曲线C上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=-3的距离小2

（1）求曲线C的方程

（2）过点F且斜率为K的直线L交曲线C于A、B两点，交圆F：于M、N两点（A、M两点相邻）若 ，当 时，求K的取值范围

Answer 1

【答案】(1) x2=4y,(2) k的取值范围是[﹣，].

【解析】试题分析：（1）由动点P（x，y）到F（0，1）的距离比到直线y=﹣3的距离小2，可得动点P（x，y）到F（0，1）的距离等于它到直线y=﹣3的距离，利用抛物线的定义，即可求动点P的轨迹W的方程；

（2）由题意知，直线l方程为y=kx+1，代入抛物线得x2﹣4kx﹣4=0，利用条件，结合韦达定理，可得4k2+2= ，利用函数的单调性，即可求k的取值范围；

解析：（1）由题意，动点P（x，y）到F（0，1）的距离比到直线y=﹣3的距离小2，

∴动点P（x，y）到F（0，1）的距离等于它到直线y=﹣1的距离，

∴动点P的轨迹是以F（0，1）为焦点的抛物线，标准方程为x2=4y；

（2）①依题意设直线l的方程为y=kx+1，代入x2=4y，得x2﹣4kx﹣4=0，△=（﹣4k）2+16＞0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1x2=﹣4，

∵， ∴（﹣x2，y2）=λ（x1﹣x2，y1﹣y2）， ，

，

即4k2+2= ，

∵λ∈[]，∴ ，

∵函数f（x）=x+ 在[ ]单调单调递减，

∴4k2+2∈[2，]，

∴k的取值范围是[﹣， ]．