Question

【题目】设函数f（x）=ex﹣ （e为自然对数的底数）．
（1）求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当x∈（﹣1，+∞）时，证明：f（x）＞0．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=ex﹣ ，f（1）=e﹣2，

f′（x）=ex﹣（x+1），f′（1）=e﹣2，

∴切线方程是：y﹣e+2=（e﹣2）（x﹣1），

即y=（e﹣2）x；

（2）解：f′（x）=ex﹣（x+1），f″（x）=ex﹣1，（x＞﹣1），

令f″（x）＞0，解得：x＞0，令f″（x）＜0，解得：﹣1＜x＜0，

∴f′（x）在（﹣1，0）递减，在（0，+∞）递增，

∴f′（x）＞f′（0）=0，

∴f（x）在（﹣1，+∞）递增，

∴f（x）＞f（﹣1）= ＞0

【解析】（1）求出函数的导数，计算f′（1），f（1），求出切线方程即可；（2）求出f（x）的导数，得到f（x）递增，从而证出结论即可．
【考点精析】关于本题考查的函数的最大(小)值与导数，需要了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．