Question

【题目】已知函数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若是自然对数的底数)时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）.

【解析】试题分析：（1）求得的导数，由求得切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线的方程；（2）由题意可得在恒成立，由时，递增，可得值域为，运用分离参数，求得右边函数的最小值，注意运用导数，判断单调性，即可得到所求范围.

试题解析：(1)f(x)＝4x－的导数为f′(x)＝4＋，可得在点(2，f(2))处的切线斜率为k＝4＋1＝5，切点为(2,6)，可得切线的方程为y－6＝5(x－2)，即为y＝5x－4．

(2)x∈(1, ]时，不等式f(x)－g(x)＜3恒成立，即为m＜3ln x＋3在(1， ]恒成立， 由1＜x≤时，3ln x＋3∈，x－递增，可得值域为，即有m＜的最小值，

由的导数为，

可得1＜x≤时，h′(x)＜0，h(x)递减，可得x＝时，h(x)取得最小值，且为．

可得m＜．则m的范围是．

【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立问题，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.