Question

【题目】对于集合A={x|x=m2﹣n2 ， m∈Z，n∈Z}，因为16=52﹣32 ， 所以16∈A，研究下列问题：
（1）1，2，3，4，5，6六个数中，哪些属于A，哪些不属于A，为什么？
（2）讨论集合B={2，4，6，8，…，2n，…}中有哪些元素属于A，试给出一个普通的结论，不必证明．

Answer 1

【答案】
（1）∵1=12﹣02；3=22﹣12；5=32﹣22；4=22﹣02；

∴1，3，4，5∈A，且2，6A；

设2∈A，得存在m，n∈Z，使2=m2﹣n2成立．（m﹣n）（m+n）=2

当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数

∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与2不是4倍数矛盾．

当m，n同分别为奇，偶数时，m﹣n，m+n均为奇数

（m﹣n）（m+n）为奇数，与2是偶数矛盾．∴2A同理6A

（2）4=22﹣02；8=32﹣12；12=42﹣22；2，6，10，14，A，结论：是4的倍数的数属于A．

【解析】（1）根据集合A的元素的性质证明1，3，4，5∈A，对于2和6用反证法进行证明，证明过程注意根据整数是奇（偶）进行分类说明；（2）根据集合A的元素的性质，在偶数中找出是集合A的元素和一些不是的A的元素，由这些数的特征进行归纳得出结论．
【考点精析】利用元素与集合关系的判断对题目进行判断即可得到答案，需要熟知对象与集合的关系是，或者，两者必居其一．