Question

【题目】函数y=ax3﹣x2+cx（a≠0）的图象如图所示，它与x轴仅有两个公共点O（0，0）与A（xA ， 0）（xA＞0）；
（1）用反证法证明常数c≠0；
（2）如果 ，求函数的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：假设c=0，则y=ax3﹣x2=x2（ax﹣1）；

∴ 这与图象所给的：

当0＜x＜xA时，f（x）＞0矛盾，∴c≠0

（2）解：由（1）知c≠0，∴y=x（ax2﹣x+c）

∵图象与x轴仅有两个公共点，

∴方程ax2﹣x+c=0（a≠0）有二等根 ．

由韦达定理 ，∴ ，∴

【解析】分析：（1）根据反证明法的证明方法，先假设c=0，则y=ax3﹣x2=x2（ax﹣1），这与图象所给的矛盾，从而得出c≠0；（2）由（1）知c≠0，得出y=x（ax2﹣x+c），图象与x轴仅有两个公共点，得出方程ax2﹣x+c=0（a≠0）有二等根 ．