Question

【题目】已知函数 ．

（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调递减区间；

（Ⅱ）当a=0时，设函数g（x）=xf（x）﹣k（x+2）+2．若函数g（x）在区间 上有两个零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）先求函数导数，根据导函数零点讨论导函数符号，进而确定单调减区间（2）先利用分参法将方程零点转化为研究函数 值域，利用导数研究函数单调性，最后根据单调性确定函数值域

试题解析：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），

f（x）的导数为f′（x）=﹣ax+1+a﹣=﹣（a＞0），

①当a∈（0，1）时，．

由f'（x）＜0，得或x＜1．

当x∈（0，1），时，f（x）单调递减．

∴f（x）的单调递减区间为（0，1），；

②当a=1时，恒有f'（x）≤0，∴f（x）单调递减．

∴f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；

③当a∈（1，+∞）时，．

由f'（x）＜0，得x＞1或．

∴当，x∈（1，+∞）时，f（x）单调递减．

∴f（x）的单调递减区间为，（1，+∞）．

综上，当a∈（0，1）时，f（x）的单调递减区间为（0，1），；

当a=1时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；

当a∈（1，+∞）时，f（x）的单调递减区间为，（1，+∞）．

（Ⅱ）g（x）=x2﹣xlnx﹣k（x+2）+2在上有零点，

即关于x的方程在上有两个不相等的实数根．

令函数．

则．

令函数．

则在上有p'（x）≥0．

故p（x）在上单调递增．

∵p（1）=0，∴当时，有p（x）＜0即h'（x）＜0．∴h（x）单调递减；

当x∈（1，+∞）时，有p（x）＞0即h'（x）＞0，∴h（x）单调递增．

∵，h（1）=1，，

∴k的取值范围为．