Question

【题目】已知幂函数y=f（x）的图象过点 ．
（1）求函数f（x）的解析式
（2）记g（x）=f（x）+x ， 判断g（x）在（1，+∞）上的单调性，并证明之．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意令y=f（x）=xa，由于图象过点（ ， ），

得 = a，a=﹣1

∴y=f（x）=x﹣1

（2）解：g（x）=f（x）+x=x+

函数 在区间（1，+∞）上是增函数，

证明：任取x1、x2使得x1＞x2＞1，

都有

由x1＞x2＞1得，x1﹣x2＞0，x1x2＞0，x1x2﹣1＞0，

于是g（x1）﹣g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2），

所以，函数 在区间（1，+∞）上是增函数．

【解析】（1）先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式即可；（2）函数在区间（1，+∞）上为增函数，理由为：在区间（1，+∞）上任取x1＞x2＞1，求出f（x1）﹣f（x2），通分后，根据设出的x1＞x2＞1，判定其差大于0，即f（x1）＞f（x2），从而得到函数为增函数．