Question

【题目】已知奇函数f（x）在x≥0时的图象是如图所示的抛物线的一部分，
（1）请补全函数f（x）的图象

（2）求函数f（x）的表达式，
（3）写出函数f（x）的单调区间．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据奇函数图象的特点，画出图形，如图所示：

（2）解：当x≥0时，设f（x）=a（x﹣1）2﹣2，又f（0）=0，得a=2，即f（x）=2（x﹣1）2﹣2；

当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[2（﹣x﹣1）2﹣2]=﹣2（x+1）2+2，

所以f（x）=

（3）解：根据函数图象可知：

函数f（x）的单调递增区间是：（﹣∞，﹣1]或[1，+∞）；

函数f（x）的单调递减区间是：[﹣1，1]

【解析】（1）根据奇函数图象的特点，奇函数图象关于原点对称，补全函数f（x）的图象；（2）当x大于0时，根据图象找出抛物线的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，又根据抛物线过原点，把原点坐标代入即可确定出抛物线的解析式；当x小于0时，﹣x大于0，代入所求的抛物线解析式中，化简可得x小于0时的解析式，综上，得到f（x）的分段函数解析式；（3）根据图象及二次函数的对称轴，即可写出f（x）的递增区间及递减区间．
【考点精析】利用函数的单调性对题目进行判断即可得到答案，需要熟知注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种．