Question

【题目】多面体， ， ， ， ， ， ， 在平面上的射影是线段的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）过E作EO//A1A交AB于O，连接CO，先证明四边形OEC1C是平行四边形，可得C1E//CO，由C1E⊥面ABB1A1，得CO⊥面ABB1A1，进而可得结论；（2）以点O为坐标原点以 为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面AB1C1的法向量与平面A1B1BA的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.

试题解析：（1）证明：过E作EO//A1A交AB于O，连接CO，

由梯形的中位线知： ，

∴OE＝CC1，又OE//CC1，

故四边形OEC1C是平行四边形，

∴C1E⊥面ABB1A1，则CO⊥面ABB1A1，

又CO在面ABC内，

∴面ABC⊥面ABB1A1；

（2）如图以点O为坐标原点建立空间直角坐标系， CO＝C1E=2， ， ， ，

∴， ，

设面AB1C1的法向量为，

依题知： ，即，

令a=1，得b=－2，c=2，∴，底面A1B1BA的法向量为，

∴．

∴二面角C1－AB1－A1的余弦值为.

【方法点晴】本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定，利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系（5）根据定理结论求出相应的角和距离.