Question

一个口袋中装有n个红球（n≥4且n∈N）和5个白球，从中摸两个球，两个球颜色相同则为中奖．
（Ⅰ）若一次摸两个球，试用n表示一次摸球中奖的概率p；
（Ⅱ）若一次摸一个球，当n=4时，求二次摸球（每次摸球后不放回）中奖的概率；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有二次中奖的概率为P，当n取多少时，P最大？

Answer 1

分析：（Ⅰ）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是一次摸奖从n+5个球中任选两个，满足条件的事件是两球不同色有C_n¹C₅¹种，根据等可能事件的概率得到结果．
（Ⅱ）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数C₈¹C₉¹，满足条件的事件是C₄¹C₃¹+C₅¹C₄¹，根据等可能事件的概率得到结果．
（III）设每次摸奖中奖的概率为p，则三次摸奖（每次摸奖后放回），恰有二次中奖的概率为P为P=P₃（2）=C₃²•p²•（1-p）=3（p²-p³），当p=

2

3

时，P取得最大值．得到n的值．

解答：解：（Ⅰ）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是一次摸奖从n+5个球中任选两个，有C_n+5²种，
满足条件的事件是两球不同色有C_n¹C₅¹种，
根据等可能事件的概率得到一次摸奖中奖的概率p=1-

10n

(n+5)(n+4)

=

n2-n+20

n2+9n+20

（Ⅱ）若n=4，由题意知本题是一个等可能事件的概率
试验发生包含的事件数C₈¹C₉¹，
满足条件的事件是C₄¹C₃¹+C₅¹C₄¹
得到二次摸奖（每次摸奖后不放回）中奖的概率是P=

C 1 4 C 1 3 + C 1 5 C 1 4

C 1 9 C 1 8

=

4

9

答：二次摸球（每次摸球后不放回）中奖的概率为

4

9

．．
（Ⅲ）设每次摸奖中奖的概率为p，则三次摸奖（每次摸奖后放回）
恰有二次中奖的概率为P为P=P₃（2）=C₃²•p²•（1-p）=3（p²-p³），0＜p＜1，．．
当p=

2

3

时，P取得最大值．
又p=1-

10n

(n+5)(n+4)

=

2

3

，解得n=20
答：当n=20时，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有二次中奖的概率最大

点评：本题考查等可能事件的概率，考查等可能事件的概率的应用，这种问题可以出现在大型考试的解答题目中，是一个综合题．