Question

已知时都取得极值．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若x∈[-1，2]，都有f（x）-c²＜0成立，求c的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知，f'（x）=3x²+2ax+b，∵时取极值，
∴即
解得，故a，b的值为：
（Ⅱ）（解法一）由（I）知．由上恒成立．
设．…（8分）
由．…（10分）
∴[g（x）]_max=2，∴2＜c²-c解得，c＜-1或c＞2．，
∴c的取值范围为（-∞，-1）∪（2，+∞）．
（解法二）由（I）知．，∴f'（x）=3x²-x-2．…（8分）
①当；②当；
③当．
而，…（10分）
∴当x∈[1，2]时，f（x）的最大值为f（2）=2+c．
对，
故c的取值范围为（-∞，-1）∪（2，+∞）．…（12分）
分析：（Ⅰ）由极值的定义可知解此方程组可得a、b的值；
（Ⅱ）解法一通过分离常数把问题转化为求函数g（x）=在区间[-1，2]上的最大值问题；解法二则把问题恒成立转化为求函数f（x）在区间[-1，2]上的最大值问题．
点评：本题考查函数的极值与最值，通过求解函数的最值来解决恒成立问题是解决问题的关键，属中档题．