Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-

2

3

与x=1时都取得极值；
（1）求a，b的值及f（x）的极大值与极小值；
（2）若方程x³+ax²+bx+c=1有三个互异的实根，求c的取值范围；
（3）若对x∈[1，2]，不等式f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）因为函数在极值点处导数等于0，所以若f（x）在x=-

2

3

与x=1时都取得极值，则f′（1）=0，f′（-

2

3

）=0，就可得到a，b的值，再利用导数的正负确定函数的单调性，即可求f（x）的极大值与极小值；
（2）若方程x³+ax²+bx+c=1有三个互异的实根，故曲线f(x)=x3-

1

2

x2-2x+c与y=1有三个不同交点，则极大值大于1，极小值小于1，从而可求c的取值范围；
（3）对x∈[1，2]，不等式f（x）＜c²恒成立，只须 c+2＜c²，从而可求c的取值范围．

解答：解：（1）∵f'（x）=3x²+2ax+b
由已知有

f′(- 2 3 )=0 f′(1)=0

，解得 a=-

1

2

，b=-2------（3分）
∴f'（x）=3x²-x-2，f(x)=x3-

1

2

x2-2x+c
由f'（x）＞0得 x＞1或x＜-

2

3

，由f'（x）＜0得 -

2

3

＜x＜1---（5分）ks5u
列表如下

x	(-∞，- 2 3 )	- 2 3	(- 2 3 ，1)	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	c+ 22 27	递减	c- 3 2	递增

所以，当x=-

2

3

时，f（x）有极大值c+

22

27

，当x=1时，f（x）有极小值c-

3

2

----------（8分）
（2）由于方程x³+ax²+bx+c=1有三个互异的实根，故曲线f(x)=x3-

1

2

x2-2x+c与y=1有三个不同交点--------（9分）
由（1）可知此时有

c+ 22 27 ＞1 c- 3 2 ＜1

，解得

5

27

＜c＜

5

2

；----------（12分）
（3）由（1）知，f（x）在x∈[1，2]上递增，此时f（x）_max=f（2）=c+2--（14分）
要满足题意，只须  c+2＜c²
解得c＞2或c＜-1--------------（16分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查函数的最值，确定函数的单调性与最值是关键．