Question

（2013•徐州模拟）已知中心为O的正方形ABCD的边长为2，点M，N分别为线段BC，CD上的两个不同点，且|

MN

|=1，则

OM

•

ON

的取值范围是

[2-

2

，1]

．

Answer 1

分析：设M（2，b），N（a，2）．由|

MN

|=1，可得

(2-a)2+(b-2)2

=1，即（a-2）²+（b-2）²=1．且1≤a≤2，1≤b≤2．如图所示，建立平面直角坐标系．
又

OM

•

ON

=（1，b-1）•（a-1，1）=a+b-2．作出可行域，即可得出答案．

解答：解：如图所示，建立平面直角坐标系．
设M（2，b），N（a，2）．∵|

MN

|=1，∴

(2-a)2+(b-2)2

=1，即（a-2）²+（b-2）²=1．且1≤a≤2，1≤b≤2．
又O（1，1），∴

OM

•

ON

=（1，b-1）•（a-1，1）=a+b-2．
令a+b-2=t，则目标函数b=-a+2+t，
作出可行域

(a-2)2+(b-2)2=1 1≤a≤2 1≤b≤2

，如图2，其可行域是

1

4

圆弧．
①当目标函数与圆弧相切与点P时，

|-2+t|

2

=1，解得t=2-

2

取得最小值；
②当目标函数经过点EF时，t=2+1-2=1取得最大值．
∴t∈[2-

2

，1]．即为

OM

•

ON

的取值范围．
故答案为[2-

2

，1]．

点评：本题综合考查了向量的模的计算公式、线性规划等基础知识，及数形结合思想方法．熟练掌握是解题的关键．