Question

3．已知a＞0，函数f（x）=$\frac{1}{3}{a^2}{x^3}-a{x^2}+\frac{2}{3}$，g（x）=-ax+1，x∈R，若在区间$（0，\frac{1}{2}]$上至少存在一个实数x₀，使f（x₀）＞g（x₀）成立，则a的取值范围是（-3+$\sqrt{17}$，+∞）．

Answer 1

分析 设F（x）=f（x）-g（x），求出导函数，由x的范围得到导函数值大雨0，即F（x）为增函数，根据闭区间x的范围，求出F（x）的最大值，根据最大值大于0列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围．

解答 解：设F（x）=f（x）-g（x）=$\frac{1}{3}$a²x³-ax²+ax-$\frac{1}{3}$，（x∈（0，$\frac{1}{2}$]），
对F（x）求导，得F′（x）=a²x²-2ax+a=a²x²+a（1-2x）＞0，（a＞0），
∴F（x）在（0，$\frac{1}{2}$]上为增函数，则F（x）_max=F（$\frac{1}{2}$）．
依题意，只需F（x）_max＞0，即$\frac{1}{3}$a²×$\frac{1}{8}$-a×$\frac{1}{4}$+a×$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$＞0，
∴a²+6a-8＞0，解得a＞-3+$\sqrt{17}$或a＜-3-$\sqrt{17}$（舍去）．
于是，所求实数a的取值范围是（-3+$\sqrt{17}$，+∞）．
故答案为：（-3+$\sqrt{17}$，+∞）．

点评 本题主要考查函数单调性的应用，根据条件构造函数，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系进行转化是解决本题的关键．