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    已知椭圆过点，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．

    （Ⅰ）求椭圆的标准方程；

    （Ⅱ）若直线与轴正半轴、轴分别交于点，与椭圆分别交于点，各点均不重合，且满足，． 当时，试证明直线过定点．过定点（1，0）

     

    【答案】

    （1）

    （2）结合向量关系式，以及韦达定理，来分析直线的方程，进而得到定点坐标。

    【解析】

    试题分析：解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为                        1分

    由题意知，且又

    所以椭圆方程为.　　　　　　　　                           4分

    （Ⅱ）由题意设的方程为       5分

    由知6分

    同理由知

    ∵，∴　　　（1）　　　         7分

    联立得，                          8分

    只需　　  （2）

    且有　　　　 （3）　　　　                 9分

    把（3）代入（1）得且满足（2），              10分

    依题意，，故

    从而的方程为，即直线过定点（1，0）                              12分

    考点：椭圆方程，直线与椭圆的位置关系

    点评：主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运用，代数法来设而不求的解题思想是解析几何的本质，属于中档题。

     

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的长轴长为4，离心率为
    1
    2
    ，F1，F2分别为其左右焦点．一动圆过点F2，且与直线x=-1相切．
    （Ⅰ） （ⅰ）求椭圆C1的方程；
    （ⅱ）求动圆圆心轨迹C的方程；
    （Ⅱ）在曲线C上有四个不同的点M，N，P，Q，满足
    MF2
    与
    NF2
    共线，
    PF2
    与
    QF2
    共线，且
    PF2
    •
    MF2
    =0    ，求四边形PMQN面积的最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    ，其左右焦点分别为F1、F2，A、B分别为椭圆的上、下顶点，如果四边形AF1BF2为边长为2的正方形．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）设椭圆的左、右顶点为M，N，过点M作x轴的垂线l，在l上任取一点P，连接PN交椭圆C于Q，探究
    OP
    •
    OQ
    是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2007•河北区一模）已知椭圆C的方程为 
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1     （a＞b＞0），过其左焦点F1（-1，0）斜率为1的直线交椭圆于P、Q两点．
    （Ⅰ）若
    OP
    +
    OQ
    与
    a
    =（-3，1）共线，求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）已知直线l：x+y-
    1
    2
    =0，在l上求一点M，使以椭圆的焦点为焦点且过M点的双曲线E的实轴最长，求点M的坐标和此双曲线E的方程．

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    科目：高中数学 来源：2014届广东省高二第二学期期中考试数学理试卷（解析版） 题型：解答题

    已知椭圆过点,其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线与轴正半轴和轴分别交于点、，与椭圆分别交于点、,各点均不重合且满足

    （1）求椭圆的标准方程；

    （2）若，试证明：直线过定点并求此定点.

     

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