Question

（2007•河北区一模）已知椭圆C的方程为 

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0），过其左焦点F₁（-1，0）斜率为1的直线交椭圆于P、Q两点．
（Ⅰ）若

OP

+

OQ

与

a

=（-3，1）共线，求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线l：x+y-

1

2

=0，在l上求一点M，使以椭圆的焦点为焦点且过M点的双曲线E的实轴最长，求点M的坐标和此双曲线E的方程．

Answer 1

分析：（I）把直线PQ的方程代入椭圆方程点到根与系数的关系，利用

OP

+

OQ

与

a

=（-3，1）共线，及a²=b²+1即可解出．
（II）设椭圆C的右焦点为F₂，则易知F₁（-1，0）F₂（1，0），直线l的方程为：x+y-

1

2

=0，
因为M在双曲线E上，要双曲线E的实轴最大，只须||MF₁|-|MF₂||最大，设F₂（1，0）关于直线l的对称点为F₂'，则可求F₂'（

1

2

，-

1

2

），则直线F₁F₂'与直线l的交点为所求M，根据2a′=||MF₁|-|MF₂||=||MF₁|-|MF₂'||≤|F₁F₂'|即可证明．

解答：解：（Ⅰ）将直线PQ的方程为y=x+1，代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，
化简得（a²+b²）x²+2a²x+a²-a²b²=0．
令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则 x1+x2=-

2a2

a2+b2

．  
由

OP

+

OQ

=(x1+x2，y1+y2)，

OP

+

OQ

与

a

=（-3，1）共线，得3（y₁+y₂）+（x₁+x₂）=0．
∴3（x₁+x₂+2）+（x₁+x₂）=0．
∴x1+x2=-

3

2

，即-

2a2

a2+b2

=-

3

2

，∴a²=3b²．  
又∵a²=b²+1，∴a2=

3

2

，b2=

1

2

．
∴椭圆C的方程为

2x2

3

+2y2=1． 
（Ⅱ）设椭圆C的右焦点为F₂，则易知F₁（-1，0）F₂（1，0），
直线l的方程为：x+y-

1

2

=0，
因为M在双曲线E上，要双曲线E的实轴最大，只须||MF₁|-|MF₂||最大，
设F₂（1，0）关于直线l的对称点为F₂'，
则可求F₂'（

1

2

，-

1

2

），则直线F₁F₂'与直线l的交点为所求M，
直线F₁F₂'的方程为y-0=

0-(- 1 2 )

-1- 1 2

(x+1)，化为y=-

1

3

x-

1

3

．
联立

y=-x+ 1 2 y=- 1 3 x- 1 3

解得M（

5

4

，-

3

4

）．
又2a′=||MF₁|-|MF₂||=||MF₁|-|MF₂'||≤|F₁F₂'|=

10

2

，
∴a′max=

10

4

，b′=

6

4

．
故所求双曲线E方程为：

8x2

5

-

8y2

3

=1．

点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、两点分别在直线异侧而如何在直线上找一点使得此点到两点的距离之差的绝对值最大问题等是解题的关键．